Re: [obm-l] Função de Dirichlet e x^x

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi.

 

Quando vc diz que quer saber se a área da função de Dirichlet é calculável, vc por acaso pergunta se a função D é integrável?

Se é isso, vamos com calma. Relembre a definição da integral de Riemann:

lim(|P| --> 0) sum f(x'_i)*delta(x_i), onde P é uma partição do intervalo no qual vc quer integrar a função (P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}) e x'_i é um valor entre x_(i-1) e x_i e delta(x_i) = x_i - x_(i-1) é o comprimento de cada intervalo.

Se existe o limite independentemente da escolha dos pontos x'_i, dizemos que a função f é integravel em (a,b) e sua integral de Riemann vale esse limite.

 

Vamos verificar que para qualquer intervalo (a,b), não existe esse limite (isto é: ele depende dos x'_i).

É muito simples. Sabemos que dados x,y reais, x<y, existe pelo menos um racional e um irracional entre eles.

Faça o limite tomando os x'_i todos racionais. Dá 0. Agora faça o limite tomando todos os x'_i irracionais, e vc tem o resultado b-a para o limite da soma. Logo o limite depende dos x'_i, e portanto dizemos que f não é Riemann-integrável.

 

POR OUTRO LADO, seria interessante se pudessemos integrar essa função.

 

Usando a Integral de Lebesgue, por exemplo, ela é integrável. A definição da integral de Lebesgue para funções simples é a seguinte:

(função simples é aquela que o conjunto imagem tem um número finito de pontos... que é o caso de D(x): ela possui apenas o 0 e o 1 na imagem)

Sejam a_i os pontos distintos da imagem de f. Seja A_i = {x | f(x) = a_i}, isto é, A_i é a pré-imagem de a_i (A_i = f^-1(a_i). A integral de lebesgue de f no conjunto E é:

soma medida(A_i inter E)*a_i

Onde medida(C) é uma função que associa, a cada conjunto C de pontos do dominio, um tamanho. Há 3 regras que essa associação de conjuntos a tamanhos precisa seguir para que possa se chamar "medida". E há diversas medidas diferentes possíveis.

Uma delas é a medida de Lebesgue. A definição dela é complicada pra eu botar aqui. Mas intuitivamente ela é o "comprimento do intervalo" (para intervalos, medida([a,b]) = b-a). Acontece que MUUUUUUUUUUUUUUITOS conjuntos são mensuráveis. O conjunto só dos racionais, por exemplo, é mensurável. Pela medida de Lebesgue, qq conjunto Enumerável tem medida 0. (e como Q é mensurável, tem medida 0... se vc nao tem esses conceitos, procure em qq livro de análise)

 

Resumo da ópera: D(x) é Lebesgue-integrável pois cada A_i é mensurável e a integral vale:

medida(Q)*1 + medida(R-Q)*0 = 0

Pois, como já enunciei, medida(Q) = 0 (e embora medida(R-Q) = +oo, usa-se a convenção de que 0 * oo = 0 nesta teoria). Assim a "área sobre a função de Dirichlet" não existe do ponto de vista de Riemann, e vale 0 do pto de vista de Lebesgue.

 

 

 

Quanto à função x^x:

concorda que ela é contínua? Um teorema diz que toda função contínua num intervalo fechado é riemann-integrável (qq livro de cálculo tem isso). Assim, f é Riemann-integrável.

E será lebesgue-integrável?

Outro teorema diz que toda função Riemann-integrável é lebesgue-integrável, e as duas integrais tem o mesmo valor! (note que não falo de integrais impróprias!)

Assim x^x é integrável.

O que vc quer dizer com "como é o processo"? Vc quer saber que regrinha aplicamos pra achar uma primitiva de x^x? Olha, nao sei... e sinceramente acho que não dá pra expressar a primitiva de x^x em termos de funções elementares. Eu tentaria expandir isso aí numa série e ver no que dava. (obs: minha HP não sabe calcular a primitiva disso... mas às vezes ela nao calcula umas bobas).

 

Até!

Bruno

ps: consulte livros de cálculo e análise... todos os teoremas e definições que listei aqui tem em qq livro de cálculo (a parte de Riemann) e em qq livro de análise (a parte de Lebesgue). Há algum tempo circulou na lista diversas sugestões de livros para estudo de Integral de Lebesgue; vale a pena vc procurar nos arquivos da lista!

 

Em 21/05/07, Igor Battazza <battazza@gmail.com> escreveu:

Gostaria de saber se a área da função de Dirichlet definida por:
         { x = 1, se x é racional
D(x) = {
         { x = 0, se x é irracional

Que equivale a D(x) = lim[lim(cos^2n(m!*%pi*x), n->%inf), m->%inf] é calculavel;

E se a função f(x) = x^x é integravel e como é o processo.

Desde já agradeço,
Igor F. Carboni Battazza.

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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0