[obm-l] RES: [obm-l] Função de Dirichlet e x^x

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi

O Bruno jah deu uma explicacao bem interessante sobre a funcao de  Dirichlet, a qual eh a funcao caracteristica dos racionais em [0, 1]. Dizemos que C eh a funcao caracteristica de um conjunto A se c(x) =1 para x em A e c(x) = 0 para x fora de A.

Acho interessante lembrar o criterio de Lebesgue para a integracao de Riemann:

Uma funcao real f eh Riemann integravel em um intervalo compacto [a,b] se, e somente se, f for limitada em [a, b]e o conjunto de suas descontinuidades em [a, b] tiver medida (de Lebesgue) nula. Na linguagem da teoria de medidas, isto eh o mesmo que dizer que f eh limitada em [a, b] e continua em quase todo [a, b]. Eh muito comum que a exigencia de que f seja limitada faca parta ds propria definicao de funcao integravel. Nestes casos, o critério apenas cita que f tem que ser continua em quase todo [a, b]. 

As funcoes caracteristicas dos Cr dos racionais e Ci dos irracionais em  [0,1] sao limitadas em [0,1']porem descontinuas em todo [0, 1], que tem medida de Lebesgue 1. Logo, não são Rieman integraveis. Mas são ambas Lebesgue integraveis, a primeira com integral nula, a segunda com integral 1.

O Bruno disse que a medida de Lebegue eh muito complicada para explicar aqui, mas acho que npa eh tanto assin nao, basta alguma familiaridade com topicos basicos da Analise. Comecemos definindo a medida exterior de um subconjunto A de R. Para isso, consideremos uma colecao enumeravel {I_n} composta por intervalos abertos cuja uniao contenha A. A esta colecao associemos um numero real expandido L dado por L = Soma (n =1, oo) l(I_n) (uma serie), onde l eh o comprimento do intervalo (possivelmente infinito). Facamos isso para cada uma destas colecoes I_n e formemos o conjunto M cujos elementos sao os limites (finitos e infinitos) das series citadas. A medida exterior de A eh entao definida por m*(A) = infimo M. Este infimo sempre existe, por M eh limitado inferiormente por 0. 

A medida exterior tem a vantagem de ser definida em todo o conjunto das partes de R, isto eh, todo subconjunto de R tem uma medida exterior. A passagem da medida exterior para a medida eh um pouco mais complicada. Se A eh um subconjunto de R, diz-se que A e mensuravel se, para todo subconjunto E de R, tivermos que m*(E) = m*(E inter A) + m*( E inter A'), sendo A' o complementar de A. Isto significa que a mdida exterior de todo subconjunto E de R pode ser decomposta como a soma das medidas exteriores da parte de E que esta em A e da parte que esta fora de A. Se A satisfizer a isso, entao sua medida de Lebesgue m(A) eh definida como sendo a sua mediada exterior.

Esta aditividade eh fundamental para a teoria da integracao. Para o bem ou para o mal (possivelmente para o bem, porque torna a matematica mais interessante), nem todo subconjunto de R eh mensuravel. Caratheodory demonstrou que a colecao dos conjuntos mensuraveis forma uma sigma-algebra, ente fundamental na teoria da integracao de Lebesgue. Os conjuntos nao mensuraveis tem natureza um tanto patologica e so podem ser formados com base no Axioma da Escolha. Isto jah foi provado. Um destes conjuntos eh o chamado conjunto de Vitali. Em R, estabelecamos uma relacao de equivalencia  ~ declarando-se a ~ b se a - b for racional. Com o auxilio do axioma da escolha, em cada uma das classes de equivalencia em que ~ particiona R escolhamos um representante v, ficando assim formado o conjunto V de Vitali. Podemos mostrar que V nao eh Lebesgue mensuravel. Isto jah foi feito aqui na lista. Eh claro que conjuntos deste tipo nao tem muito interesse em areas praticas como engenharia e economia. Os conjuntos nao mensuraveis tem a ver com o paradoxo de Tarski- Banach. 

Tudo isso tem uma generalizacao para R^n e para os complexos, bem como para outras medidas que nao de Lebesgue

Se vc quiser progredir nisso, recomendo fortemente o livro The Elements of Integration and Measure Theory, de Robert. G. Bartle, autor conhecido por Bartle. Uma excelente introducao, Bartle tem o dom da clareza. Quase todos os top dogs da teoria de medidas recomendam o livro do Bartle como o texto introdutorio. 

Abracos
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Igor Battazza
Enviada em: segunda-feira, 21 de maio de 2007 22:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Função de Dirichlet e x^x


Gostaria de saber se a área da função de Dirichlet definida por:
          { x = 1, se x é racional
D(x) = {
          { x = 0, se x é irracional

Que equivale a D(x) = lim[lim(cos^2n(m!*%pi*x), n->%inf), m->%inf] é calculavel;

E se a função f(x) = x^x é integravel e como é o processo.

Desde já agradeço,
Igor F. Carboni Battazza.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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