Re: [obm-l] "blow up" em EDOs

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 13 Apr 2007 16:45:03 -0300
Assunto: Re: [obm-l] "blow up" em EDOs

> Ola Claudio,
> 
> pensei no seguinte:
> se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R.
> integrando de t_0 a t, temos:
> x(t) - x(t_0) >= y(t) - y(t_0)
> 
> x(t) - a >= y(t) - b
> se tivermos a >= b, temos: x(t) >= y(t) ..
> 
> sobre a EDO, pensei no seguinte:
> derivando novamente em relacao ao tempo, temos:
> x'' = 1 + 2xx'
> 
> entao, resolvendo esta EDO e dps ajustando para satisfazer
> x' = t + x^2 talvez conseguimos encontrar a solucao...
> 
> bom.. vou pensar melhor aqui e se conseguir algo eu mando
> 
> abracos,
> Salhab
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> On 4/13/07, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> > Oi, pessoal:
> >
> > Estou tentando resolver o seguinte problema:
> > Prove que o problema de valor inicial:
> > dx/dt = t + x^2
> > x(0) = a > 0
> > tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito.
> >
> > Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t),
> > a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda.
> >
> > Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao 
infinitamente
> > diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente.
> > No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio.
> >
> > Em geral, se temos dois PVIs:
> > dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a
> > e
> > dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b
> > onde:
> > f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica,
> > a >= b, e
> > f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U,
> > entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas.
> >
> > Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo)
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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