Re:[obm-l] "blow up" em EDOs

De:

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Para:

"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Fri, 13 Apr 2007 09:28:41 -0300

Assunto:

[obm-l] "blow up" em EDOs

> Oi, pessoal:

> Estou tentando resolver o seguinte problema:

> Prove que o problema de valor inicial:

> dx/dt = t + x^2

> x(0) = a > 0

> tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito.

> Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t),

> a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda.

> Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente

> diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente.

> No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio.

Acabei de ter a seguinte idéia:

Seja x tal que x'(t) = x(t)^2 e x(0) = a.

Sejam u e v tais que: u(t) = y(t) - x(t) e v(t) = y(t) + x(t).

Então:

u(0) = 0;

v(0) = 2a > 0;

v'(t) = y'(t) + x'(t) = t + y(t)^2 + x(t)^2 > 0, para todo t > 0;

u'(t) = y'(t) - x'(t) = t + y(t)^2 - x(t)^2 = t + v(t)*u(t) ==>

u'(t) - v(t)*u(t) = t ==>

(multiplicando pelo fator integrante e(t) = exp(-Integral(0...t) v(s)*ds) )

u'(t)*e(t) - v(t)*u(t)*e(t) = t*e(t) ==>

d/dt(u(t)*e(t)) = t*e(t) ==>

(integrando de 0 a t)

u(t)*e(t) - u(0)*e(0) = Integral(0...t) s*e(s)*ds ==>

u(t) = e(t)^(-1)*Integral(0...t) s*e(s)*ds > 0, para todo t > 0.

Logo, y(t) > x(t), para todo t > 0.

Como x(t) -> +infinito quando t -> 1/a-, devemos ter:

y(t) -> +infinito, quando t -> b-, para algum b <= 1/a.

[]s,

Claudio.