Re: [obm-l] "blow up" em EDOs

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Ola Claudio,

pensei no seguinte:
se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R.
integrando de t_0 a t, temos:
x(t) - x(t_0) >= y(t) - y(t_0)

x(t) - a >= y(t) - b
se tivermos a >= b, temos: x(t) >= y(t) ..

sobre a EDO, pensei no seguinte:
derivando novamente em relacao ao tempo, temos:
x'' = 1 + 2xx'

entao, resolvendo esta EDO e dps ajustando para satisfazer
x' = t + x^2 talvez conseguimos encontrar a solucao...

bom.. vou pensar melhor aqui e se conseguir algo eu mando

abracos,
Salhab






On 4/13/07, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> Oi, pessoal:
>
> Estou tentando resolver o seguinte problema:
> Prove que o problema de valor inicial:
> dx/dt = t + x^2
> x(0) = a > 0
> tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito.
>
> Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t),
> a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda.
>
> Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente
> diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente.
> No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio.
>
> Em geral, se temos dois PVIs:
> dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a
> e
> dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b
> onde:
> f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica,
> a >= b, e
> f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U,
> entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas.
>
> Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo)
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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