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Re: [obm-l] Numeros Irracionais
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 14 Feb 2007 13:34:04 +0000 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Numeros Irracionais |
> Sauda,c~oes,
>
> Oi Claudio,
>
> ===
> No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co-autor)
> "Introduction to the Theory of Numbers".
> ===
> De que ano é este livro?
>
Eu tenho um exemplar da 5a. edição, de 1991.
> ===
> tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre
> teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os famosos:
>
> 1. [...]
>
> 2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] <= x < [x]+1.
> Prove que, para todo n em N:
> [x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n <= [nx]
> ===
> Como é a solução (tem?) do livro?
>
Não, mas tem aqui:
(aliás, eu me enganei - a questão foi da USAMO-1981 e não da IMO)
> Em Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (1970), pp.93--95
> tem uma solução para este problema.
> E se não estou enganado, aqui ele supõe x>0.
>
> Como vc não falou nada, suponho que a desigualdade
> é verdadeira para todo x.
>
Você está certo, a questão original pressupõe x > 0.
No entanto, se x = M + a, com M inteiro e 0 <= a < 1, então:
[kx] = [kM + ka] = kM + [ka], de modo que:
[nx] = nM + [na]
e
SOMA(1<=k<=n) [kx]/k = nM + SOMA(1<=k<=n) [ka]/k.
Logo, basta verificar a desigualdade para 0 <= x < 1.
(repare que se, por exemplo, x = -4.7, então M = -5 e a = 0.3)
> Antes de mandar outro email, gostaria de ter a prova do
> seguinte resultado:
>
> [a] + [b] <= [a+b] para todo a,b em R.
>
Basta escrever a = m+x, b = n+y, com m, n em Z e 0 <= x, y < 1.
Então: [a+b] = [m+x+n+y] = m+n + [x+y] >= m+n = [a]+[b].
Aliás, também é verdade que [a+b] < [a]+[b]+1.
Boa parte dos problemas envolvendo [.] pode ser resolvida por meio do algoritmo da divisão: se m e n são inteiros, então existem (e são únicos) inteiros q e r tais que m = qn + r e 0 <= r <= |n|-1.
Por exemplo, estes aqui:
1. Prove que, para todo x real e todo n em N, [x/n] = [[x]/n].
2. Prove que:
[x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + ... + [x + (n-1)/n] = [nx].
3. Se m e n são inteiros positivos primos entre si, então:
SOMA(1<=k<=n-1) [km/n] = SOMA(1<=k<=m-1) [kn/m] = (m-1)(n-1)/2.
[]s,
Claudio.