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[obm-l] Soma com a função piso [Era:Numeros Irracionais]
Oi Claudio,
Tudo muito bom, muito didático.
Como a gente aprende nesta lista.
===
>Eu tenho um exemplar da 5a. edição, de 1991.
===
Não ajuda. Gostaria de saber se tem alguma anterior
a 1970. Pois ...
A solução da referência de 1970 é igual a que você mandou.
===
>Antes de mandar outro email, gostaria de ter a prova do
>seguinte resultado:
>
>[a] + [b] <= [a+b] para todo a,b em R.
===
Agora que temos a prova :), mostremos por indução
que
S_n(x) := \sum_{k=1}^n \frac{\lfloor kx\rfloor}{k} =
\sum_{k=1}^n [kx]/k <= [nx], n=1,2,... x\in R.
Usando a definição de S_n(x), podemos escrever:
S_1(x) = [x]
2(S_2(x) - S_1(x)) = [2x]
3(S_3(x) - S_2(x)) = [3x]
......
n(S_n(x) - S_{n-1}(x)) = [nx]
A desigualdade (proposição P_n) é claramente verdadeira para
n=1. Supomos agora que P_k é verdadeira para k=2,3,...,n-1.
Devemos mostrar que P_k é verdadeira para k=n, ou seja,
S_n(x) <= [nx].
Somando as n igualdades acima, vem:
nS_n(x) = S_1(x) + S_2(x) + ... S_{n-1}(x) + [x] + ... + [(n-1)x] + [nx] .
(*)
Como S_k(x) <= [kx] para 2 <= k <= n-1 pela hipótese de indução
e S_1(x) = [x], podemos escrever: S_k(x) <= [kx] para 1 <= k <= n-1.
Logo,
S_k(x) + [(n-k)x] <= [kx] + [(n-k)x] para 1 <= k <= n-1.
Mas como sabemos, [a] + [b] <= [a+b] para todo a,b em R. Portanto,
S_k(x) + [(n-k)x] <= [nx] para 1 <= k <= n-1.
Voltando a (*):
nS_n(x) <= (n-1)[nx] + [nx] = n[nx]
S_n(x) <= [nx] qed
A César o que é de César: pedi ao professor Rousseau
alguns exercícios legais de Indução e este é um deles.
Não sei dizer se a solução é dele.
Mas que é elegante é.
[]'s
Luís
>From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
>Date: Thu, 15 Feb 2007 08:20:56 -0300
>
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Cópia:
>
>Data:Wed, 14 Feb 2007 13:34:04 +0000
>
>Assunto:Re: [obm-l] Numeros Irracionais
>
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Oi Claudio,
> >
> > ===
> > No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co-autor)
> > "Introduction to the Theory of Numbers".
> > ===
> > De que ano é este livro?
> >
>Eu tenho um exemplar da 5a. edição, de 1991.
>
> > ===
> > tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre
> > teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os famosos:
> >
> > 1. [...]
> >
> > 2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] <= x < [x]+1.
> > Prove que, para todo n em N:
> > [x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n <= [nx]
> > ===
> > Como é a solução (tem?) do livro?
> >
>Não, mas tem aqui:
>http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usoln/usol815.html
>(aliás, eu me enganei - a questão foi da USAMO-1981 e não da IMO)
>
>
> > Em Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (1970), pp.93--95
> > tem uma solução para este problema.
> > E se não estou enganado, aqui ele supõe x>0.
> >
> > Como vc não falou nada, suponho que a desigualdade
> > é verdadeira para todo x.
> >
>Você está certo, a questão original pressupõe x > 0.
>No entanto, se x = M + a, com M inteiro e 0 <= a < 1, então:
>[kx] = [kM + ka] = kM + [ka], de modo que:
>[nx] = nM + [na]
>e
>SOMA(1<=k<=n) [kx]/k = nM + SOMA(1<=k<=n) [ka]/k.
>Logo, basta verificar a desigualdade para 0 <= x < 1.
>(repare que se, por exemplo, x = -4.7, então M = -5 e a = 0.3)
>
> > Antes de mandar outro email, gostaria de ter a prova do
> > seguinte resultado:
> >
> > [a] + [b] <= [a+b] para todo a,b em R.
> >
>Basta escrever a = m+x, b = n+y, com m, n em Z e 0 <= x, y < 1.
>Então: [a+b] = [m+x+n+y] = m+n + [x+y] >= m+n = [a]+[b].
>Aliás, também é verdade que [a+b] < [a]+[b]+1.
>
>Boa parte dos problemas envolvendo [.] pode ser resolvida por meio do
>algoritmo da divisão: se m e n são inteiros, então existem (e são únicos)
>inteiros q e r tais que m = qn + r e 0 <= r <= |n|-1.
>Por exemplo, estes aqui:
>1. Prove que, para todo x real e todo n em N, [x/n] = [[x]/n].
>
>2. Prove que:
>[x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + ... + [x + (n-1)/n] = [nx].
>
>3. Se m e n são inteiros positivos primos entre si, então:
>SOMA(1<=k<=n-1) [km/n] = SOMA(1<=k<=m-1) [kn/m] = (m-1)(n-1)/2.
>
>
>[]s,
>Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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