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[obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
---------- Cabeçalho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 13 Feb 2007 20:24:07 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Problemas em aberto
> Oi, Claudio,
>
> O problema de complexos que você mencionou é uma ferramenta
> extremamente útil que já usei para demonstrar inúmeros problemas de
> geometria, como por exemplo o famoso teorema atribuido ao
> Napoleão (o Bonaparte, mesmo, acredite se quiser... :-)), que eu
> acho surpreendente:
>
Tem um artigo legal na Eureka sobre aplicaoes de complexos em geometria. Estah aqui:
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/aplicacoes.pdf
E aqui estah outro: http://www.majorando.com/arquivos/geomcomplexasemolimp.pdf
> "Sobre os lados de um triângulo arbitrário construa três triângulos
> equiláteros exteriores ao mesmo. Mostre que os centros destes 3
> triângulos equiláteros determinam um novo triângulo equilátero".
>
Ha controversias sobre a autoria desse teorema. Parece que Napoleao realmente gostava de matematica, e que pode ateh ter
descoberto (ou re-descoberto) este teorema empiricamente, mas eh menos provavel que tenha descoberto uma demonstracao
original. No entanto, sabe-se que Napoleao era amigo de Fourier, Laplace, Monge e outros craques. Pode ser que, numa dada
noite, eles tenham se encontrado pra tomar umas e outras. Dai, podem ter comecado a falar de matematica, o problema
apareceu e foi resolvido (pelo Monge, por exemplo, que nao era muito ruim de geometria). No dia seguinte, ninguem se lembrava
bem quem fez o que e o Napoleao, que certamente tinha um ego inversamente proporcional a sua estatura, decidiu se apoderar
do credito...
> O teorema do Napoleão também é relacionado a outro problema
> (atribuído a Pascal) igualmente interessante: "Dado um triângulo
> qualquer, determine o ponto de seu plano cuja soma das distâncias aos
> vértices é mínima".
>
Eu li que este problema foi proposto por Fermat a Evangelista Torricelli. Alias, eh muito natural confundir o Torricelli com o
Pascal, especialmente quando se estah sob pressao (jah pedindo desculpas pela piadinha infame...).
O tal ponto eh normalmente chamado "ponto de Fermat" do triangulo.
Se um dos angulos do triangulo for >= 120 graus, entao o ponto eh o vertice correspondente.
Algumas demonstracoes esao aqui: http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml
Esse problema tem uma interpretacao fisica interessante, em termos de equilibrio estatico.
Veja aqui: http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=495&part=solution&refpage=viewer.php
A relacao entre os teoremas de Napoleao e Pascal-Fermat-Torricelli eh descrita aqui:
http://www.math.washington.edu/~king/coursedir/m444a03/notes/12-05-Napoleon-Fermat.html
Que maravilha essa internet, hem?... Imagina o trabalho que alguem teria pra achar estas referencias ha 20 anos atras...
[]s,
Claudio.
> Os aficcionados em Geometria que se regozigem... São bonitos, assim,
> como as soluções.
>
> Quanto ao somatório (com expoentes sendo os números triangulares) tô
> pensando...
>
> Abraços,
> Nehab
>
> At 13:50 13/2/2007, you wrote:
>
>
> >On 2/13/07, claudio.buffara
> ><<mailto:claudio.buffara@terra.com.br>claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> >Antes de postar um problema bonitinho sobre complexos, quero lembrar
> >que ainda temos (pelo menos) dois problemas em aberto
> >na lista, um do PSRita e o outro do ACSteiner:
> >
> >1. Calcule o valor de SOMA(n=1...+inf) q^(n(n-1)/2), onde |q| < 1.
> >
> >Consultei meus alfarrabios e descobri que esta soma eh igual a um
> >certo produto infinito, mas nao achei nenhuma formula
> >fechada e suspeito que nenhuma exista, a menos que envolva alguma
> >funcao nao elementar - alias, como a serie acima
> >converge, ela pode ser usada pra definir uma funcao de (-1,1) -> R.
> >
> >
> > Se o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma
> > P.A. com os n primeiros naturais.
> > Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema
> > não está relacionado com partições de inteiros e
> >a função de Euler?
> >
> ><http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition>http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition
> >
> > Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que
> > é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde cada a_i
> >aparece i vezes.
> > Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não
> > ajuda muito ... :)
> >
> >[]s
> >Ronaldo
> >
> >
> >
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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