[obm-l] Off topic

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi Nicolau,

Eu não ia perder esta oportunidade...

Em minha reposta ao Ricardo sobre este mesmo assunto (cosseno 
racional) indiquei o "Niven" e imaginei que os "mais jovens" poderiam 
sugerir um livro mais recente.   Portanto, uma simples 
"contraposição" mostra que, como você sugeriu o mesmo livro, logo 
você não pertence à categoria dos "mais jovens"... :-)

Apenas a título de curiosidade você poderia informar a menor, a maior 
e a idade média da galera - sem precisão, apenas por instinto...   Eu 
acho 12 anos, 65 anos e  uns 25 anos, um bom chute...   Ou seja, devo 
estar bem para lá da média + 3 desvios padrão...

Abraços
Nehab

PS: Por favor, a galera da geração do Rogério Ponce, para não pagar 
mico, é melhor não se manifestar, hein...

At 08:02 10/2/2007, you wrote:
>On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> >
> > Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é
> > racional?
>
>Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
>Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é algébrico.
>Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
>não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
>Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
>http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html
>
>Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
>com os a_i distintos e os A_i não nulos então
>A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.
>
>Suponha x algébrico, x não nulo.
>Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
>Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
>Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
>Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
>contradizendo o teorema.
>
>Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
>em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
>é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros parecidos
>é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.
>
>[]s, N.
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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