Re: [obm-l] cos de racional

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Feb 09, 2007 at 03:24:08PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
> 
> Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é 
> racional?

Supondo que os ângulos estejam expressos em radianos, não.
Na verdade se x é algébrico diferente de 0 então cos(x) não é algébrico.
Um número real ou complexo x é algébrico se existir um polinômio
não nulo com coeficientes racionais que admita x como raiz.
Isto segue do teorema de Hermite-Lindemann:
http://mathworld.wolfram.com/Hermite-LindemannTheorem.html

Se a_1, ..., a_n, A_1, ..., A_n são números algébricos
com os a_i distintos e os A_i não nulos então
A_1 exp(a_1) + ... + A_n exp(a_n) é diferente de 0.

Suponha x algébrico, x não nulo.
Tome a1 = ix, A1 = 1/2, a2 = -ix, A2 = 1/2.
Então A_1 exp(a_1) + A_2 exp(a_2) = cos(x).
Pelo teorema, cos(x) é não nulo.
Se cos(x) fosse algébrico poderíamos tomar a3 = 0, A3 = -cos(x),
contradizendo o teorema.

Este teorema não é fácil a ponto de eu achar viável demonstrá-lo
em uma mensagem nesta lista. Note que o fato de pi ser irracional
é um corolário. Uma boa referência para este teorema e outros parecidos
é o livro Irrational Numbers de Ivan Niven, publicado pela MAA.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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