Re: [obm-l] soma 2

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 03, 2007 at 11:20:09AM +0000, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
> 
> E se fosse  S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 ?
> 
> O problema acima caiu numa Olimpíada Canadense (1974).
> 
> S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
> 
> Esta é a soma de uma progressão aritmético-geométrica
> (escrevi sobre ela na lista recentemente).
> 
> E se fosse S_n = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + n/2^n ?

Há muitas maneiras de fazer. Supondo que sabemos que S = 2,
acho que a mais simples é escrever S_n = 2 - T_n,
  T_n =             (n+1)/2^(n+1) + (n+2)/2^(n+2) + ...
2 T_n = (n+1)/2^n + (n+2)/2^(n+1) + (n+3)/2^(n+2) + ...
donde subtraindo
  T_n = (n+1)/2^n + 1/2^(n+1) + 1/2^(n+2) + ... = (n+2)/2^n
(somamos aqui uma pg infinita) e assim S_n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.

Vamos verificar. Seja R_n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.
Temos
R_0 = 0/1 = S_0
R_1 = 1/2 = S_1
R_2 = 4/4 = S_2 (evitei simplificar)
R_3 = 11/8 = S_3
e parece estar dando certo. Para termos certeza, 
R_n - R_(n-1) = (2^(n+1)-n-2)/2^n - (2^n-(n-1)-2)/2^(n-1)
              = (2^(n+1)-n-2-2^(n+1)+2n-2+4)/2^n
              = n/2^n.

Claro que é perfeitamente legítimo fazer isso tudo no rascunho
e escrever:

Proposição: S_n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.

Demonstração: Por indução. É fácil verificar que a fórmula é correta
para n=0 e n=1. Supondo a fórmula válida para n-1 temos
S_n = S_(n-1) + n/2^n = (2^n-(n-1)-2)/2^(n-1) + n/2^n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.

qed

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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