Re: [obm-l] soma 2

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

E se fosse  S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 ?

O problema acima caiu numa Olimpíada Canadense (1974).

S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...

Esta é a soma de uma progressão aritmético-geométrica
(escrevi sobre ela na lista recentemente).

E se fosse S_n = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + n/2^n ?

[]'s
Luís


>From: "Marcelo Amorim Menegali" <marcelomenegali@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] soma 2
>Date: Tue, 2 Jan 2007 18:44:05 -0300
>
>Ha! Achei um jeito mais elegante para resolver a primeira soma:
>1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 =
>(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + ... + (99^2 - 100^2) =
>(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + (5-6)(5+6) + ... + (99-100)(99+100) =
>-(3 + 7 + 11 + ... + 199) =
>-(202*50)/2 =
>-5050
>
>Atenciosamente,
>
>Marcelo Amorim Menegali
>
>
>2007/1/2, Marcelo Amorim Menegali <marcelomenegali@gmail.com>:
>>
>>1^1- 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ...+ 99^2 - 100^2
>>
>>(Vou supor conhecida a igualdade S[n] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =
>>n(n+1)(2n+1)/6.)
>>
>>Temos, para n=50:
>>S[50] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 50^2
>>Multiplicando ambos os lados por -8, temos:
>>-8S[50] = -2*2^2 -2*4^2 -2*6^2 -... -2*100^2 (Equação.I)
>>
>>Agora, para n=100, temos:
>>S[100] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 100^2 (Equação.II)
>>
>>Somando a Equação.I com a Equação.II, obtemos a soma pedida:
>>1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 = S[100] - 8S[50] =
>>100*101*201/6 - 8*50*51*101/6 = -5050
>>
>>---
>>
>>1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
>>
>>Chamando a soma de X, temos:
>>X = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... (Equação.I)
>>Multiplicando essa equação por 2, ficamos com:
>>2X = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + ... (Equação.II)
>>
>>Subtraindo a Equação.I da Equação.II, ficamos com:
>>X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
>>Atenciosamente,
>>
>>Marcelo Amorim Menegali
>>
>>
>>2007/1/2, Ronaldo Alonso <ronaldo.luiz.alonso@gmail.com>:
>> >
>> > Essas aí são somas clássicas.
>> >   Dá uma olhada em:
>> >
>> >    http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
>> >
>> >  a primeira é a eq. 23 .
>> >
>> >  On 1/2/07, Marcus Aurélio <marcusaurelio80@globo.com > wrote:
>> > >
>> > > alguem me ajude nessas?
>> > >
>> > > 1^1- 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ...+ 99^2 - 100^2
>> > >
>> > > outra
>> > >
>> > > 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
>> > >
>> > >
>> > >
>> > >
>> > > 
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>> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> > >
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>> > Ronaldo Luiz Alonso
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