Re: [obm-l] soma 2

[Jonas <jrenan@xxxxxxxxx>]

Olá Luís, para resolver esse tipo de seqüencia eu costumo a escrever na
forma de um triângulo...

S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...

Se organizarmos os números da seguinte forma:

1/2 +
1/4 + 1/4 +
1/8 + 1/8 + 1/8 +
1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 +
1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 +
..................................

Pela soma de PG sabemos que:
a soma da primeira coluna é 1, da segunda é 1/2, da terceira é 1/4.. e
assim por diante (numa prova rigorosa deveria haver uma pequena indução
aqui)

Então a soma pode ser reescrita como

1 + 1/2 + 1/4.. que é 2.

Deve existir algum método mais rápido, mas acho esse bem simples.

Abraços,
J. Renan

Em Qua, 2007-01-03 às 11:20 +0000, Luís Lopes escreveu:
> Sauda,c~oes,
> 
> E se fosse  S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 ?
> 
> O problema acima caiu numa Olimpíada Canadense (1974).
> 
> S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
> 
> Esta é a soma de uma progressão aritmético-geométrica
> (escrevi sobre ela na lista recentemente).
> 
> E se fosse S_n = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + n/2^n ?
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
> >From: "Marcelo Amorim Menegali" <marcelomenegali@gmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] soma 2
> >Date: Tue, 2 Jan 2007 18:44:05 -0300
> >
> >Ha! Achei um jeito mais elegante para resolver a primeira soma:
> >1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 =
> >(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + ... + (99^2 - 100^2) =
> >(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + (5-6)(5+6) + ... + (99-100)(99+100) =
> >-(3 + 7 + 11 + ... + 199) =
> >-(202*50)/2 =
> >-5050
> >
> >Atenciosamente,
> >
> >Marcelo Amorim Menegali
> >
> >
> >2007/1/2, Marcelo Amorim Menegali <marcelomenegali@gmail.com>:
> >>
> >>1^1- 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ...+ 99^2 - 100^2
> >>
> >>(Vou supor conhecida a igualdade S[n] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =
> >>n(n+1)(2n+1)/6.)
> >>
> >>Temos, para n=50:
> >>S[50] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 50^2
> >>Multiplicando ambos os lados por -8, temos:
> >>-8S[50] = -2*2^2 -2*4^2 -2*6^2 -... -2*100^2 (Equação.I)
> >>
> >>Agora, para n=100, temos:
> >>S[100] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 100^2 (Equação.II)
> >>
> >>Somando a Equação.I com a Equação.II, obtemos a soma pedida:
> >>1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 = S[100] - 8S[50] =
> >>100*101*201/6 - 8*50*51*101/6 = -5050
> >>
> >>---
> >>
> >>1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
> >>
> >>Chamando a soma de X, temos:
> >>X = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... (Equação.I)
> >>Multiplicando essa equação por 2, ficamos com:
> >>2X = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + ... (Equação.II)
> >>
> >>Subtraindo a Equação.I da Equação.II, ficamos com:
> >>X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
> >>Atenciosamente,
> >>
> >>Marcelo Amorim Menegali
> >>
> >>
> >>2007/1/2, Ronaldo Alonso <ronaldo.luiz.alonso@gmail.com>:
> >> >
> >> > Essas aí são somas clássicas.
> >> >   Dá uma olhada em:
> >> >
> >> >    http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
> >> >
> >> >  a primeira é a eq. 23 .
> >> >
> >> >  On 1/2/07, Marcus Aurélio <marcusaurelio80@globo.com > wrote:
> >> > >
> >> > > alguem me ajude nessas?
> >> > >
> >> > > 1^1- 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ...+ 99^2 - 100^2
> >> > >
> >> > > outra
> >> > >
> >> > > 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
> >> > >
> >> > >
> >> > >
> >> > >
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> >> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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