Re: [obm-l] Ajuda!!

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Voce nao levou em conta as raizes complexas da equacao caracteristica.
Repare que qualquer funcao periodica de periodo 1/(42*n) (n natural) satisfaz a equacao funcional do enunciado.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 6 Dec 2006 01:47:27 -0200
Assunto: Re: [obm-l] Ajuda!!

> Olá,
> 
> dps de muita ralacao acho que saiu:
> 
> f(x + 13/42) + f(x + 0/42) = f(x + 7/42) + f(x + 6/42)
> 
> faca x = u/42, assim:
> 
> f((u+13)/42) + f(u/42) = f((u+7)/42) + f((u+6)/42)
> 
> seja a_k = f(k/42), entao:
> 
> a_{n+13} + a_{n} = a_{n+7} + a_{n+6}
> 
> cuja equacao caracteristica é:
> 
> (a^7 - 1)(a^6 - 1) = 0
> 
> raizes reais: 1, 1 e -1
> 
> assim, a resolucao é combinacao linear de: 1, k, (-1)^k
> 
> a_k = c1 + c2k + c3(-1)^k
> a_k = f(k/42) = c1 + c2k + c3(-1)^k => f(x) = c1 + 42 * c2 * x + c3 * (-1)^(42x)
> 
> quando x->inf, temos que ter |f(x)| <= 1, logo: c2 = 0
> 
> entao: f(x) = c1 + c3, pois 42x é sempre par!
> 
> => f(x) = constante!
> 
> logo, f(x) é periódica!
> 
> bom, até estranhei encontrar isso! onde sera q errei?
> 
> abraços,
> Salhab
> 
> 
>   ----- Original Message ----- 
>   From: Rodolfo Braz 
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>   Sent: Friday, December 01, 2006 11:45 AM
>   Subject: [obm-l] Ajuda!!
> 
> 
>   Seja f uma função real cujo módulo é sempre menor ou igual a 1.
>   Sabendo que f(x+13/42) + f(x) = f(x+1/6) + f(x+1/7) para todo x, mostre que f é uma função periódica. 
> 
>   Desde já agradeço a todos que colaborarem com alguma solução! Abraço a todos!
> 
> 
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