[obm-l] Re:[obm-l] Dúvida Cruel!

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel!

> Pessoal como faço pra resolver essa equação?
>   Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x
>    
>   Desde já fico agredecido por qualquer manifestação!
>   Abraços a todos! Rodolfo.
> 

x = 0 e x = 1 sao claramente solucoes.

Multiplicando a equacao por 2^x, obtemos:
4^x + 10^x = 6^x + 8^x ==>
(7 - 3)^x + (7 + 3)^x = (7 - 1)^x + (7 + 1)^x

Fixado x (suposto diferente de 0 e 1), seja f_x:(0,4) -> R dada por:
f_x(t) = (7 + t)^x + (7 - t)^x.
Assim, x eh solucao da equacao se e somente se f_x(1) = f_x(3).

f_x'(t) = x((7 + t)^(x-1) - (7 - t)^(x-1)) = funcao continua de t

Dado o dominio de t (o intervalo aberto (0,4)), temos:
7 + t > 7 - t > 0 ==>
se x > 1, entao (7 + t)^(x-1) > (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0
se 0 < x < 1, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) < 0 
se x < 0, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0 
(pois a diferenca, que eh negativa, estah multiplicada por x < 0)
 
Assim:
x > 1 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3)
0 < x < 1 ==> f_x'(t) < 0 ==> f_x eh decrescente ==> f_x(1) > f_x(3)
x < 0 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3)

Em suma, as unicas solucoes sao as obvias: x = 0 e x = 1.

[]s,
Claudio.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================