Re: [obm-l] Re:[obm-l] Dúvida Cruel!

["Ronaldo Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxx>]

A solução do Cláudio baseia-se em propriedades das exponenciais que podem ser
verificadas por inspeção.  

      Basicamente para resolver ele inicialmente checou que x=0 e x=1 eram
soluções (alguém pode rapidamente fazer isso em uma olimpíada, embora 
é preciso ter alguma intuição anterior, ou reescrevendo a equação ou então 
desenhando o gráfico da função para saber mais ou menos a forma da solução
e onde procurá-la).

   A dúvida consistia se essas eram as *únicas* soluções.  Para constatar
que isso é verdade basta argumentar da seguinte forma menos matemáticamente 
rigorosa:

1) Escreva a equação como:
     3^x - 2^x = 5^x - 4^x

2) Observe que os termos exponenciais do lado direito crescem mais rápidamente
    quando x>1 e  mais lentamente quando x< 1  (para ver isso claramente construa 
   os gráficos sobrepostos de f(x) = 3^x - 2^x  e g(x) = 5^x - 4^x ).   

2') Verifique que 3^x - 2^x é sempre menor que 5^x - 4^x quando x > 1

3) Devido 'a condição anterior os gráficos não vão mais se cruzar em nenhum lugar além de
  0 e 1.

(*) Claro que para provar a condição 2 rigorosamente temos que usar derivadas que é o que faz
a solução abaixo. 
     Mas e se estivéssemos procurando soluções complexas da equação?  Ah... aí então 
gráficos não ajudariam mais... e devido à periodicidade da exponecial ( e^(x + 2*k *pi )  = e ^x ) 
teríamos infinitas soluções.

On 11/15/06, claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 15 Nov 2006 08:37:16 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Dúvida Cruel!

> Pessoal como faço pra resolver essa equação?
>   Encontre todas as soluções reais da equação: 2x + 5x = 3x + 4x
>
>   Desde já fico agredecido por qualquer manifestação!
>   Abraços a todos! Rodolfo.
>

x = 0 e x = 1 sao claramente solucoes.

Multiplicando a equacao por 2^x, obtemos:
4^x + 10^x = 6^x + 8^x ==>
(7 - 3)^x + (7 + 3)^x = (7 - 1)^x + (7 + 1)^x

Fixado x (suposto diferente de 0 e 1), seja f_x:(0,4) -> R dada por:
f_x(t) = (7 + t)^x + (7 - t)^x.
Assim, x eh solucao da equacao se e somente se f_x(1) = f_x(3).

f_x'(t) = x((7 + t)^(x-1) - (7 - t)^(x-1)) = funcao continua de t

Dado o dominio de t (o intervalo aberto (0,4)), temos:
7 + t > 7 - t > 0 ==>
se x > 1, entao (7 + t)^(x-1) > (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0
se 0 < x < 1, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) < 0
se x < 0, entao (7 + t)^(x-1) < (7 - t)^(x-1) ==> f_x'(t) > 0
(pois a diferenca, que eh negativa, estah multiplicada por x < 0)

Assim:
x > 1 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3)
0 < x < 1 ==> f_x'(t) < 0 ==> f_x eh decrescente ==> f_x(1) > f_x(3)
x < 0 ==> f_x'(t) > 0 ==> f_x eh crescente ==> f_x(1) < f_x(3)

Em suma, as unicas solucoes sao as obvias: x = 0 e x = 1.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Ronaldo Luiz Alonso
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Computer Engeener 
LSI-TEC/USP - Brazil.