Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra

["Davi de Melo Jorge Barbosa" <dbarbosa@xxxxxxxxx>]

Só tentei resolver a primeira questão. Deu certo por indução. As vezes
você não organizou muito bem as expressões e acabou se confundindo por
isso. Ou então eu errei!


Para facilitar, seja:
S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n
H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n
Observe que:
H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) +
1/(2n+1) + 1/2(n+1)
ou seja:
H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)

Queremos mostrar que S(n) = H(n).

Base da indução (n=1):
S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1)
ok.

Passo da indução:
Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), então S(n+1) = H(n+1).

S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1):
S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
S(n+1) = H(n+1)


On 10/26/06, Ramon Carvalho <ramonstaff@gmail.com> wrote:
>
>
>
> From: Ramon Carvalho <ramonstaff@gmail.com>
> Date: 24/10/2006 19:57
> Subject: Dúvidas em Álgebra
>  To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> 1) Provar que a igualdade é verdadeira:
>
> 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n
>
> eu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em
> canto nenhum
>
> 2) Achar o valor das expressões abaixo
> e = ( n+1 )(n+2)...(n+n)
>
> f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2
>
> Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos
> para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica
> fácil ver um certo padrão entre os termos.
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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