Re: [obm-l] Problema 4444..88..9

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Segue o problema 46 do meu livro: suprimindo-se um
dos elementos do conjunto {1,2,.....,n}, a média
aritmética dos elementos restantes é igual a 16,1.
Determine:


a) o valor de n;
b) o elemento suprimido (chame-o de k)

Bem, 
(1+2+3+...+k-1)+(k+1+...+n)=16,1(n-1)

16,1=16/10=8/5, logo

5(1+2+3+...+k-1)+5(k+1+...+n)=8(n-1)
Ou
5(1+2+...+n)=8(n-1)+5k
5n(n+1)/2-8(n-1)=5k

Putz! Ta quase lá!

5n(n+1)-16(n-1)=10k
5n^2+5n-16n+16=10k

5n^2-11n+(16-10k)=0

Talvez vendo o delta disso de pra descobrir mais coisas...

delta=11^2-4*5*(16-10k)=121-20(16-10k)=200k-199

(10n-11)^2=200k-199=200(k-1)+1
(10n-11)^2-1=200(k-1)
(10n-10)(10n-12)=200(k-1)

10(n-1)2(5n-6)=200(k-1)

(n-1)(5n-6)=10(k-1)

seja k-1=A, n-1=B
Ai entao

B(5B-1)=10A

Como 5B-1 nao divide 10, temos que 5B-1 divide A
e assim A=x(5B-1), 

B=10*x
A=x(50x-1),B=10x

k=x(50x-1)+1,n=10x+1

k=50x^2-x+1
n=10x+1

5(10x+1)(10x+2)-16(10x)=10(50x^2-x+1)
5(100x^2+30x+2)-160x=500x^2-10x+10
500x^2+150x+10-160x=500x^2-10x+10
OK!

Agora temos que ver algum modo de melhorar isto...

Em 11/10/06, Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com > escreveu:

Sauda,c~oes,

Oi Nehab,

Foi esta (PG) a solução que dei para o problema 84 do
meu livro sobre progressões. Concordo que a sua é
mais elegante.

Qual a solução do Lindski? E a do Sergio?

Segue o problema 46 do meu livro: suprimindo-se um
dos elementos do conjunto {1,2,.....,n}, a média
aritmética dos elementos restantes é igual a 16,1.
Determine:

a) o valor de n;
b) o elemento suprimido.

[]'s
L.


>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab < carlos@nehab.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Problema 4444..88..9
>Date: Tue, 10 Oct 2006 15:05:07 -0300
>
>Oi, Bruno,
>
>Esqueci de dizer que a solução usual é por PG (aghhhh).    Chata, mas sai.
>Se o número de algarismos de N é 2n, escreva o tal N assim (costumo errar
>contas, mas a idéia é a que segue):
>N = 4*10^n*[10"(n-1) + .... + 1]  +  8*[ 10^(n-1) + ...+  1] + 9
>N = 4*10^n[10^n -1] /9 + 8 *[10^n - 1]/9  + 9
>Opere e obtenha
>N =  4*10^(2n) + 2.4.10^n + 1 ] /9 =  (2*10^n + 1)^2 /9
>Logo raiz(N) = (2*10^n + 1) /3
>
>Abraços,
>Nehab
>
>
>At 13:33 10/10/2006, you wrote:
>>Oi Bruno,
>>O primeiro é do Lindski e já caiu no IME.   Acho minha solução
>>bonitinha... :-)
>>
>>Multiplique o tal cara N por 9 e perceba que 9N = 40000...4.....1 , ou
>>seja,  9N = (20....0 + 1)^2...
>>
>>Logo, o  N é quadrado e a resposta , 20....01/3 = 666666....7
>>
>>Abraços,
>>Nehab
>>
>>At 11:45 10/10/2006, you wrote:
>>>Amigos peço ajuda para os seguintes problemas:
>>>
>>>1)Demonstrar que os números 49 , 4489, 444889 obtidos colocando o número
>>>48 no meio do número anterior,são quadrados de números inteiros.
>>>
>>>2) n retas paralelas de um plano se cruzam por uma série de m retas
>>>paralelas. Quantos paralelogramos podem ser separados na rede obtida ?
>>>
>>>mais uma vez, obrigado.
>>>
>>>Bruno
>>>
>>>
>>>O Yahoo! está de cara nova. Venha
>>>< http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/spirit/*http://br.yahoo.com>conferir!


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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