Re: [obm-l] Problemas de Olimpiadas

On 9/20/06, Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com> wrote:

Ola Pessoal,
( escreverei sem usar acentos )

Mantendo a tradicao desta nossa lista, que,  conforme diz a pagina da OBM no
endereco

http://www.obm.org.br/frameset-lista.htm

foi concebida originalmente para a discussao de problemas olimpicos e nao
para a solucao dos trivialissimos  problemas de vestibulares e/ou de
concursos, seguem abaixo 5 problemas das Olimpiadas Russas. Estes problemas
sao direcionados sobretudo aos nossos estudantes olimpicos do fim do nivel
fundamental ( antiga 7/8 series ).

PROBLEMA 1)  Dois jogadores escolhem, alternadamente, o sinal de um dos
números 1, 2, 3, ... 20. Desde que o sinal de um número foi escolhido, ele
não poderá ser modificado.  Após todos os números terem recebido sinal, é
efetuado a soma algébrica dos números e, a seguir, tomado o valor absoluto
desta soma. O primeiro jogador procura minimizar o valor absoluto da soma,
enquanto que o segundo jogador procura maximiza-lo.  Como pode ser o
resultado final, supondo-se que cada jogador joga com perfeição ?

PROBLEMA 2) Os dígitos de um número natural são reordenados e o número
resultante é acrescido ao número original. Prove que a resposta não pode ser
um número formado apenas com o algarismo nove. Prove também que se a
resposta for 10^10, então o número original é divisível por 10.

PROBLEMA 3) Prove que existe um número divisível por 5^1000 que não tem
dígito zero.

PROBLEMA 4 ) Três vértices KLM de um losango KLMN são pontos respectivamente
dos lados AB, BC e  CD de um quadrado de lado unitário. Encontre a área do
conjunto de todos os possíveis valores do vértice N.

PROBLEMA 5 ) Um número natural K tem a propriedade de que se K divide N,
então o número obtido N pela reversão de seus dígitos é também divisível por
K. Prove que K é um divisor de 99 ( Reversão dos dígitos de N significa que
o primeiro dígiton passa a ser o último, o segundo passa a ser o penúltimo e
assim sucessivamente )

Mais problemas de Olimpiadas Russas em :

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr

Um Abracao a Todos !
Paulo Santa Rita
4,1701,200906

_________________________________________________________________
Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira
http://spaces.live.com/

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================