[obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinha numa parábola)

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

Paulo Santa Rita  escreveu em
Mon, 26 Jun 2006 07:09:17 -0700

Um fato notavel e talvez surpreendente sobre a parabola Y=X^2 pode ser descoberto resolvendo a seguinte questao: IMAGINE que a parabola Y=X^2 rola sem deslizar sobre o exiso dos X, tanto para a direita como para a esquerda. Qual o lugar geometrico descrito pelo foco da parabola ?

Costumo dar uma espiada nos problemas da lista que ainda estão em aberto, mas quando encontro algum do Paulo, uma espiada só não é suficiente...

O problema foi colocado, como é usual,como uma parábola que rola, mas, como ela não pode “dar uma volta” preferí pensar numa parábola basculante e a imaginação me remeteu ao gingado malemolente de uma bela mulata, no bom estilo de Arí Barroso.

A dedução está no anéxo da mensagem (devido ao desenho), onde concluímos que a trajetória do foco é uma catenária.

De fato, como lá escreví, aparece uma propriedade interessante: considerando-se a parábola de equação Y=(p/2).X^2, a normal num ponto de ordenada Y intersepta o eixo de simetria à uma distância p/2 + Y do foco. Seria esse mesmo o fato ao qual você se referiu Paulo?

Na dedução utilizei uma propriedade muito conhecida e usada, tanto em Desenho, para traçar a tangente e/ou a normal, quanto na Física, em óptica geométrica (lentes)ou em espelhos (ou antenas) parabólicas, como exemplos: A normal é bissetriz do ângulo entre uma paralela ao eixo (que passa pelo ponto P da parábola) e a reta que une P ao foco.

Como a parábola não desliza a abcissa do “ponto de apoio” ou de tangência ao eixo dos x, referido à posição inicial do vértice (quando o eixo dos y é o eixo de simetria), é o comprimento do arco, do vértice ao ponto P, s , obtido pela integração de

   sqrt[1+(dY/dX)^2].dX    que nos fornece

       S = p/2[ln(sec t + tg t) + sec t. tg t   ,

   onde tg t = dY/dX = X/p.

Obtemos as equações paramétricas;

    x = p/2.ln(sec t + tg t)   e     y = p/2.sec t, 

ou eliminando t,

    y = p/2.cosh(2x/p)

 

  Abraços

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