[obm-l] Problemas de Olimpiadas

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,
( escreverei sem usar acentos )

Mantendo a tradicao desta nossa lista, que,  conforme diz a pagina da OBM no 
endereco

http://www.obm.org.br/frameset-lista.htm

foi concebida originalmente para a discussao de problemas olimpicos e nao 
para a solucao dos trivialissimos  problemas de vestibulares e/ou de 
concursos, seguem abaixo 5 problemas das Olimpiadas Russas. Estes problemas 
sao direcionados sobretudo aos nossos estudantes olimpicos do fim do nivel 
fundamental ( antiga 7/8 series ).

PROBLEMA 1)  Dois jogadores escolhem, alternadamente, o sinal de um dos 
números 1, 2, 3, ... 20. Desde que o sinal de um número foi escolhido, ele 
não poderá ser modificado.  Após todos os números terem recebido sinal, é 
efetuado a soma algébrica dos números e, a seguir, tomado o valor absoluto 
desta soma. O primeiro jogador procura minimizar o valor absoluto da soma, 
enquanto que o segundo jogador procura maximiza-lo.  Como pode ser o 
resultado final, supondo-se que cada jogador joga com perfeição ?

PROBLEMA 2) Os dígitos de um número natural são reordenados e o número 
resultante é acrescido ao número original. Prove que a resposta não pode ser 
um número formado apenas com o algarismo nove. Prove também que se a 
resposta for 10^10, então o número original é divisível por 10.

PROBLEMA 3) Prove que existe um número divisível por 5^1000 que não tem 
dígito zero.

PROBLEMA 4 ) Três vértices KLM de um losango KLMN são pontos respectivamente 
dos lados AB, BC e  CD de um quadrado de lado unitário. Encontre a área do 
conjunto de todos os possíveis valores do vértice N.

PROBLEMA 5 ) Um número natural K tem a propriedade de que se K divide N, 
então o número obtido N pela reversão de seus dígitos é também divisível por 
K. Prove que K é um divisor de 99 ( Reversão dos dígitos de N significa que 
o primeiro dígiton passa a ser o último, o segundo passa a ser o penúltimo e 
assim sucessivamente )

Mais problemas de Olimpiadas Russas em :

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr

Um Abracao a Todos !
Paulo Santa Rita
4,1701,200906

_________________________________________________________________
Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira 
http://spaces.live.com/

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================