Oi, Artur:
Muito provavelmente, esta é a solução que você encontrou, mas aqui vai,
de qualquer jeito...
A idéia é mostrar que, dado qualquer intervalo aberto (a,b), existe x
nesse intervalo tal que x não está em D. Logo, D não poderá conter nenhum
intervalo aberto e, portanto, terá interior vazio.
Inicialmente, observe que a soma dos comprimentos dos I_n é limitada (de
fato, SOMA(n>=1) m(I_n) = Pi^2/3, mas o valor desse limite não influi na
demonstração).
Agora, tome k em N tal que SOMA(n>k) m(I_n) < b - a.
Isso quer dizer que os intervalos I_n com n > k não podem cobrir o
intervalo (a,b) e, portanto, deve existir x em (a,b) que não está contido em
nenhum deles.
Logo, x estará contido em, no máximo, k intervalos (I_1, I_2, ..., I_k)
e, portanto x não pertence a D.
O mesmo argumento funciona para qualquer sequencia (I_n) de intervalos
tais que SOMA(n>=1) m(I_n) < infinito.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 19 Sep 2006
14:07:20 -0700 (PDT) |
| Assunto: |
Re: [obm-l]
Conjunto com interior vazio correcao |
> Ah, eu quis dizer enumeracao dos RACIONAIS, nao dos
> irracionais. Mas, na realidade, a conclusao se mantem
> se (r_n) for qualquer sequencia de reais.
>
> Artur
>
>
> --- Artur Costa Steiner
> wrote:
>
> > Este problema tem uma solucao simples, mas eu
> > gostaria de saber se alguem
> > tem uma prova diferente da que encontrei.
> >
> > Seja (r_n, n=1,2,3...) uma enumeracao qualquer dos
> > irracionais e seja I_n o
> > intervalo dado por I_n = (r_n - 1/n^2 , r_n +
> > 1/n^2). Sendo D = { x em R | x
> > pertence a uma infinidade de intervalos I_n}, entao
> > D tem interior vazio.
> >
> > Eu encontrei esta solucao simples porque eu conhecia
> > uma conclusao
> > correlata.
> >
> > Artur
> >
> >
>
>