Re: [obm-l] Problema de geometria plana (56)

[ricardo.bioni@xxxxxxxxx]

1) Desenhe as bissetrizes internas de um tri�ngulo ABC e o encontro delas ser� o incentro. Desenhando os segmentos OA, OB e OC, teremos o tri�ngulo AOB com os �ngulos AOB, A/2 e B/2, o tri�ngulo BOC com os �ngulos BOC, C/2 e B/2, e o tri�ngulo AOC com os �ngulos AOC, A/2, B/2. Assim:
Do tri�ngulo AOB: AOB = 180� - A/2 - B/2 = 180� - (A + B)/2 = 180� - (180� - C)/2 = 90� + C/2.
Do tri�ngulo BOC: BOC = 180� - B/2 - C/2 = 90� + A/2
Do tri�ngulo AOC: AOC = 180� - A/2 - C/2 = 90� + B/2

2) Com as divis�es dos tri�ngulos AOB, AOC e BOC, onde O � o incentro, sabemos que (pela observa��o da quest�o 1) algum dos �ngulos 90� + A/2, 90� + B/2 e 90� + C/2 deve ser igual a um dos �ngulos A, B ou C, pois algum dos tri�ngulos AOB, AOC e BOC deve ser semelhante a ABC. Seja BOC o tri�ngulo semelhante. N�o � poss�vel 90� + A/2 = A, pois A < 180�, mas � poss�vel que 90� + A/2 = B ou 90� + A/2 = C. Suponhamos que 90� + A/2 = B. Assim, 90� + A/2 = B => 2B - A = 180� => 180� - A - B = B - 2A => C = B - 2A. N�o � poss�vel que B/2 = A, pois C > 0�, ent�o B/2 = C, donde C = 2A, B = 4A.
A + B + C = 180� => A + 2A + 4A = 180� => A = (180/7)�, B = (720/7)� e C = (360/7)�.