Olá,
1) Suponha que existem A, B, C e D que satisfazem as inequacoes, entao:
(A+B)(C+D) < AB + CD
(A+B)(A+B)(C+D) < AB(A+B) + CD(A+B) < AB(A+B) + AB(C+D) = AB(A+B+C+D) < AB(C+D+C+D) = 2AB(C+D)
Logo:
(A+B)(A+B)(C+D) < 2AB(C+D)
(A+B)(A+B) < 2AB
A^2 + B^2 < 0
absurdo.
logo, nao existem A, B, C, D reais positivos que satisfazem a essas inequacoes.
abracos,
Salhab
> Ola Pessoal !
> (escreverei sem acentos)
>
> Seguem tres problemas propostos em uma Olimpiada Russa do passado. Nao e
> possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino brasileiro e o russo, mas
> eu diria que estes problemas se destinam sobretudo a alunos da 7/8 series do
> nosso ensino fundamental ( antigo 1 grau ) :
>
> PROBLEMA 1) Prove que nao existem quatro reais positivos A, B, C e D que
> satisfazem simultaneamente as inequacoes seguintes :
>
> A + B < C + D
> (A+B)(C+D) < AB + CD
> (A+B)CD < AB(C+D)
>
> PROBLEMA 2) Considere a equacao do segundo grau Ax^2 + Bx + C = 0, onde B e
> C sao inteiros dados. Qual e o menor valor inteiro positivo que A deve
> assumir de maneira que a equacao admita duas raizes positivas, distintas e
> ambas menores que 1 ?
>
> PROBLEMA 3) Seja N um numero inteiro positivo maior que 1. Considere todas
> as fracoes da forma 1/PQ, onde P e Q sao relativamente primos e, alem disso,
> satisfazem :
>
> 1) 0 < P < Q =< N
> 2) P + Q > N
>
> Prove que a soma de todas estas fracoes e igual a 1/2.
>
> Mais problemas russos em :
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> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 4,1104,260406
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