Olá,
2) Queremos que ambas as raizes estejam entre 0 e 1.
Como A > 0, e, fazendo f(x) = Ax^2 + Bx + C, temos que ter:
f(0) > 0, pois, se f(0) <= 0, ou 0 é raiz, ou 0 esta entre as raizes.. como nenhum dos 2 eh permitido, f(0) > 0.
assim: C > 0
ok.. tambem queremos: f(1) > 0.. pelos mesmos argumentos do f(0).
assim: A + B + C > 0 .. A > - (B+C)
agora, queremos que o valor de x que da o minimo da funcao esteja entre 0 e 1.. logo:
0 < -B/(2A) < 1
vamos analisar os 2 casos:
-B/(2A) > 0 ... B/A < 0 .. isto é: B e A tem sinais opostos
-B/(2A) < 1 ... B/A > -2
vamos analisar 2 casos:
(i) B > 0 .. entao A < 0:
B/A > -2 .. B < -2A .. A < -B/2
assim: -(B+C) < A < -B/2
(ii) B < 0 .. entao A > 0:
B/A > -2 .. B > -2A .. A > -B/2
assim: A > -B/2 e A > - (B+C)
logo A > max ( -B/2 ; -(B+C) )
deste modo, os possiveis valores de A estao determinados para que as condicoes do problema sejam sempre satisfeitas..
para obtermos o menor valor de A, teriamos que aceitar que as raizes fossem 0 e 1.
neste caso, teriamos a seguinte resposta:
se C > 0 e B > 0, o menor valor de A é: - (B+C)
se C > 0 B < 0, o menor valor de A é: max ( -B/2 ; -(B+C) )
se C < 0, impossivel satisfazer as condicoes do enunciado
abracos,
Salhab
> Ola Pessoal !
> (escreverei sem acentos)
>
> Seguem tres problemas propostos em uma Olimpiada Russa do passado. Nao e
> possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino brasileiro e o russo, mas
> eu diria que estes problemas se destinam sobretudo a alunos da 7/8 series do
> nosso ensino fundamental ( antigo 1 grau ) :
>
> PROBLEMA 1) Prove que nao existem quatro reais positivos A, B, C e D que
> satisfazem simultaneamente as inequacoes seguintes :
>
> A + B < C + D
> (A+B)(C+D) < AB + CD
> (A+B)CD < AB(C+D)
>
> PROBLEMA 2) Considere a equacao do segundo grau Ax^2 + Bx + C = 0, onde B e
> C sao inteiros dados. Qual e o menor valor inteiro positivo que A deve
> assumir de maneira que a equacao admita duas raizes positivas, distintas e
> ambas menores que 1 ?
>
> PROBLEMA 3) Seja N um numero inteiro positivo maior que 1. Considere todas
> as fracoes da forma 1/PQ, onde P e Q sao relativamente primos e, alem disso,
> satisfazem :
>
> 1) 0 < P < Q =< N
> 2) P + Q > N
>
> Prove que a soma de todas estas fracoes e igual a 1/2.
>
> Mais problemas russos em :
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> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
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