Re:[obm-l] Tres Problemas Olimpicos

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Salhab e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

>From: "Salhab \[ k4ss \]" <k4ss@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re:[obm-l] Tres Problemas Olimpicos
>Date: Thu, 27 Apr 2006 01:33:24 -0300
>
>Olá,
>
>2) Queremos que ambas as raizes estejam entre 0 e 1.
>Como A > 0, e, fazendo f(x) = Ax^2 + Bx + C, temos que ter:
>
>f(0) > 0, pois, se f(0) <= 0, ou 0 é raiz, ou 0 esta entre as raizes.. como 
>nenhum dos 2 eh permitido, f(0) > 0.
>assim: C > 0
>
>ok.. tambem queremos: f(1) > 0.. pelos mesmos argumentos do f(0).
>assim: A + B + C > 0 .. A > - (B+C)

Ate aqui tudo bem.


>agora, queremos que o valor de x que da o minimo da funcao esteja entre 0 e 
>1.. logo:
>
>0 < -B/(2A) < 1

Considere a funcao : Y =X^2 - X - 2. Temos que 0 < -B/2A = 1/2 < 1 e, 
entretanto, as raizes sao -1 e 2, ou seja, a suposicao 0 < -B/2A < 1 nao e 
suficiente ...  Voce deve ACRESCENTAR as corretas conclusoes anteriores :

B^2 - 4AC > 0   ( existem duas raizes reais)



>vamos analisar os 2 casos:
>
>-B/(2A) > 0 ... B/A < 0 .. isto é: B e A tem sinais opostos
>
>-B/(2A) < 1 ... B/A > -2
>
>vamos analisar 2 casos:
>
>(i) B > 0 .. entao A < 0:
>B/A > -2 .. B < -2A .. A < -B/2
>assim: -(B+C) < A < -B/2
>
>(ii) B < 0 .. entao A > 0:
>B/A > -2 .. B > -2A .. A > -B/2
>assim: A > -B/2     e    A > - (B+C)
>logo A > max ( -B/2 ; -(B+C) )

Como neste ponto voce ja sabia que A > 0, as implicacoes do caso (i) 
deveriam ter sido rejeitadas.

>deste modo, os possiveis valores de A estao determinados para que as 
>condicoes do problema sejam sempre satisfeitas..
>para obtermos o menor valor de A, teriamos que aceitar que as raizes fossem 
>0 e 1.

Nao e necessario aceitar que as raizes sejam 0 e 1.  A analise previa deve 
chegar a :

A > 0 ; f(0) > 0 ; f(1) > 0
0 < -B/2A < 1
B^2 - 4AC > 0


>neste caso, teriamos a seguinte resposta:
>
>se C > 0 e B > 0, o menor valor de A é: - (B+C)
>se C > 0 B < 0, o menor valor de A é: max ( -B/2 ; -(B+C) )
>se C < 0, impossivel satisfazer as condicoes do enunciado
>
>abracos,
>Salhab

E importante registrar as linhas mestras do raciocinio que voce descobriu 
sao boas.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1225,270406

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