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RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei que o seu
excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo mesmo espirito que
rege a comunidade Software Livre - e voltado sobretudo para estudantes que
farao o vestibular IME, dai eu ter me esforcado para usar apenas
conhecimentos de nivel medio e ser tao detalhista quanto possivel.
Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma forma, pode
usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que fonte. Da uma revisada nos
calculos porque eu nao olhei duas vezes para um mesmo lugar. Havendo tempo
eu faco a (iii) e publico aqui.
Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas cartesianas
conveniente. Para tanto, consideraremos que a
reta " r " que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o plano OXZ e
perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo este ponto medio a
origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue imediatamente que :
A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum "a" real.
Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar geometrico
dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem, inevitavelmente, o
plano onde residira o lugar geometrico que buscamos, pois todo centro de
esfera circunscrita ao tetraedro e, em particular, equidistante de A e B.
Agora, continuando, para caracterizar a reta " r ' " ortogonal a "r" e na
qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
r' = { (b,c,z) ; "b" e "c" reais fixos com "b" diferente de zero e "z"
variando nos reais }
E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que fixado um
M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M - pois trata-se do
ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e precisamente o ortocentro
destre triangulo. Por outro lado, e facil ver que se aproximanos M=(b,c,W)
de (b,c,0) o ponto M' tende ao infinito, ou seja, subira ou descera muito.
Visualizar estas coisa e importante para o que segue.
VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao, imagine
W < 0. Para ter uma visao global previa, considere as questoes seguintes :
1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita ao
tetraedro ABMM' ?
SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as arestas do
tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema formado por estas
equacoes. Como isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ponto M '
tem sentido perguntar ...
2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular ao plano
que contem este triangulo. A intercecao desta perpendicular com a reta r' me
fornecera as coordenadas de M'. Como isso pressupoe saber previamente as
coordenadas do ortocentro do triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM. Se R e o
ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados, constituindo a RETA DE
EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com esta relacao fica facil calcular as
coordenadas do ortocentro. Como isso pressupoe saber previamente as
coordenadas do baricentro e do circuncentro, tem sentido perguntar ...
4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas, pois
trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices do triangulo.
Para ver como calculamos o circuncentro basta perceber que o plano Y=0 e um
plano perpendicular a AB pelo seu ponto medio, em virtude do sistema
cartesiano que adotamos acima. Assim, tracamos dois plano respectivamente
perpendiculares AM e BM pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema
formado pelas equacoes dara o circuncentro.
Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes acima foi a
forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar uma visao panoramica
e previa do que farei. Desta forma a sequencia de calculos vai adquirir
sentido. Note que os calculos podem ser muitos, mais a ideia e simples, como
era de se esperar em problemas deste nivel. Entao, maos a obra !
OS DADOS BASICOS :
A=(0,a,0) e B=(0,-a,0) sao os pontos fixos sobre a reta "r", identificada
com o eixo OY. O plano Y=0 corta AB no seu ponto medio. A distancia entre
as retas "r" e "r' " sera "b", um real positivo e nao nulo. A distancia de
r' ao plano Y=0 sera "c". Sobre r' escolhemos um ponto M=(b,c,W)
ENCONTRANDO O CIRCUNCENTRO E O BARICENTRO DO TRIANGULO ABM :
O ponto medio de AM e ( b/2, (c+a)/2, W/2 ). O vetor AM=M-A sera (b,c-a,W).
Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e perpendicular a AM e
dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c+a)/2, W/2) ].(b,c-a,W) = 0. Fazendo os
calculos e colocando numa forma bonita, ficara :
bX + (c-a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2 EQUACAO 1
O ponto medio de BM e (b/2, (c-a)/2, W/2). O vetor BM=M-B sera (b,c+a,W).
Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e perpendicular a BM e
dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c-a)/2, W/2) ].(b,c+a,W) = 0. Fazendo os
calculos e colocando numa forma bonita, ficara :
bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2 EQUACAO 2
O Circuncentro esta no plano do triangulo ABM. Precisamos portanto encontrar
a equacao do plano que contem este triangulo. Nada mais facil : os vetores
MA=A-M e MB=B-M sao respetivamente (-b,a-c,-W) e (-b,-a-c,-W) e, portanto, o
produto vetorial entre eles e : MA x MB = -2a(W,0,-b). Segue daqui que o
vetor (W,0,-b) e perpendicular ao plano. Logo, a equacao que buscamos sera
:
[(X,Y,Z) - M].(W,0,-b) = 0
[(X,Y,Z) - (b,c,W)].(W,0,-b)=0 => WX - bZ = 0 EQUACAO 3
Montando o SISTEMA ( vou me referir a este sistema mais abaixo ) :
Y=0
WX - bZ = 0
bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
bX + (c- a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
Resolvendo-o, achamos :
C = circuncentro de ABM = (1/(b^2 + W^2) )*[(b^2 + W^2)/2 + (c^2 -
a^2)/2]*(b,0,W). Para facilitar os calculos representarei a expressao 1 + (
(c^2-a^2)/(b^2 + W^2) ) por L. Assim : C = L*(b/2,0,W/2). As coordenadas do
baricentro sao facilmente calculaveis, pois, como todos sabem, elas sao as
media aritmetica das respectivas coordenadas dos vertices do triangulo. Logo
:
D= baricentro de ABM = (b/3, c/3,W/3)
ENCONTRANDO O ORTOCENTRO DO TRIANGULO ABM :
Tendo C e D fica facil calcular R, as coordenadas do ortocentro do
triangulo, pois R, D e C estao alinhados formando a chamada RETA DE EULER, o
baricentro sempre fica entre o circuncentro e o ortocentro e a distancia do
ortocentro ao baricentro e duas vezes a distancia do circuncentro ao
baricentro. Em termos de vetores : R - D = -2(C - D). Logo :
R = D - 2(C - D) => R = 3D - 2C = (b,c,W) - L*(b,0,W) = (0,c,0) + (b,0,W)
-L*(b,0,W) =>
R = (0,c,0) + (1-L)*(b,0,W) = (0,c,0) + ( (a^2 - c^2) / (b^2 + W^2)
)*(b,0,W)
ENCONTRANDO O PONTO M ' :
Agora vamos tracar por R uma reta perpendicular ao plano que contem o
triangulo ABM. A intersecao desta reta com a reta r' sera o ponto M'. Acima,
calculamos que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao plano. A equacao da reta
que procuramos sera:
(X,Y,Z) - R = t*(W,0,-b) onde "t" varia nos reais.
(X,Y,Z) = R + t*(W,0,-b).
Procuramos "t" real tal que (X,Y,Z) esteja na reta r ' , vale dizer, X=b e
Y=c. Fazendo os calculos chega-se facilmente ao valor t = (L/W)*b. Usando-o
para calcular Z chegamos a :
Z= ( a^2 - b^2 - c^2) / W
Fazendo a^2 - b^2 - c^2 = K, chegamos ao famigerado ponto M ' : M ' = (b, c,
K / W )
ENCONTRANDO O CENTRO DA ESFERA CIRCUNSCRITA AO TETRAEDRO ABMM ' :
Considerando o SISTEMA montado acima, e facil ver que se retirarmos a
exigencia da solucao estar no plano que contem o triangulo ABM, vale dizer,
se retirarmos a equacao WX - bZ = 0, a solucao do sistema resultante sera :
Y=0
bX + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2 EQUACAO 4
Esta reta e perpendicular ao plano AMB pelo circuncentro do triangulo ABM,
isto e, contem TODOS os pontos ( e somente eles ! ) equidistante dos
vertices A, B e M. Isto posto, fica claro que para encontrarmos o centro da
esfera que circunscreve o tetraedro ABMM ' basta tracar um plano
perpendicular a qualquer das arestas AM', BM' ou MM' e fazer a interseccao
deste plano com a reta da EQUACAO 4 acima. Fazendo isso :
O ponto medio de MM ' e ( b, c, (K/2W) + W/2 ). O vetor MM ' e (0,0, (K /
W) - W ). Logo, o plano que contem o ponto medio e e perpendicular ao vetor
AM ' tem a equacao :
[(X,Y,Z) - (b,c,(K /2W) + W/2 )].(0,0,(K / W) - W ) = 0
Desenvolvendo, achamos :
Z = (1/2)*( (K/W) + W ) EQUACAO 5
Juntando as EQUACOES 4 e 5, resulta o sistema :
Y=0
bX + WZ = (b^2 + W^2)/2 + (c^2 - a^2)/2
Z = (1/2)*( (K/W) + W )
Resolvendo este sistema, achamos :
X = -K/b .
Z = (1/2)*( (K/W) + W )
Variando W temos os pontos procurados. Segue que o lugar geometrico dos
centros das esferas circunscritas ficara :
LG = { (X,Y,Z) = ( -K / b , 0, (W/2) + (K/2W ) tais que W varia ao longo dos
reais e e nao nulo }
Aqui, conforme dissemos acima, K=a^2 -b^2 - c^2 e "a" e a metade das
distancia entre os pontos originais A e B e "b" e a distancia entre as retas
ortogonais "r" e "r ' " ( "a" e "b" sao nao nulos, portanto )
A imagem geometrica sera uma reta ou duas semi-reta. Para ver isso
claramente, note que :
(W/2) + (K/2W) = z => W^2 -2zW + K = 0
Uma tal equacao so tem solucao W real ( as unicas que estamos considerando
aqui ) se z^2 - K >= 0. Logo, se ocorrer que K=a^2 - b^2 - c^2 =< 0, todo z
servira e a imagem sera uma reta. Se K=a^2 - b^2 - c^2 >0, deveremos ter z^2
>= K. Daqui segue que z =< - raiz_quadrada(K) ou z >= raiz_quadrada(K), ou
seja, duas semi-retas.
OBS : A grandeza K=a^2 - b^2 - c^2 parece ser importante no contexto deste
problema. Se K > 0, nenhuma esfera circunscrita a qualquer dos infinitos
tetraedros construtiveis tera centro em (-K/b,0,z) se :
- raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K)
Por que isso ocorre ?
Seja z tal que - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K). E facil ver que a
distancia "d" de (-K/b,0,z) ao ponto A=(0,a,0) e tal que d^2 = z^2 + a^2 +
(-K/b)^2. Mas z^2 < K = a^2 - b^2 - c^2 => z^2 + a^2 < 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 +
b^2 + c^2 =>
z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 +c^2 + (-K/b)^2 => z^2 + a^2
+ (-k/b)^2 < b^2 + 2K +(-K/b)^2 + c^2 =>
z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < (b + |-K/b|)^2 + c^2 . Seja f^2 =(b + |-K/b|)^2 + c^2
.
E facil ver que se tracarmos por (-K/b,0,z) um plano perpendicular a reta
X=-K/b, este plano cortara a reta r' em um ponto "p" tal que a distancia de
(-K/b,0,z) a "p" e precisamente "f", vale dizer, a distancia de (-K/b,0,z)
ate A=(0,a,0) e menor que a distancia de (-K/b,0,z) a QUALQUER PONTO da
reta r'. Logo, (-K/b,0,z) jamais podera ser equidistante de A e de dois
outros pontos M e M' residentes em r'. Logo, nenhuma esfera circunscrita ao
tetraedro ABMM' podera ter centro em
(-K/b,0,z) se - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K).
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
1,2015,300406
>From: Sergio Lima Netto <sergioln@lps.ufrj.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] 2 questoes do IME
>Date: Fri, 28 Apr 2006 08:31:04 -0300 (BRT)
>
>
>>Em tempo : Quais sao as duas questoes que estao sem resposta ? Voce pode
>>apresentar os enunciados aqui ?
>
>Na versao 8, havia 3 questoes que eu nao
>tinha conseguido responder (considerando apenas
>o periodo de 2006/2005 a 1977/1978 - pois se considerarmos
>todo o periodo atualmente incluido, existem "infinitas"
>questoes)
>
>Sao elas (as questoes nao resolvidas anteriormente):
>(i) 1986/1987 geometria, 9a questao
>(ii) 1985/1986 geometria, 6a questao, item (b)
>(iii) 1982/1983 geometria, 7a questao
>
>Em uma msg anterior eu havia postado as questoes (i)
>e (ii) e o Luis Lopes, desta lista, as postou
>em outra lista obtendo diversas (mesmo!) respostas.
>Com isto a questao (ii) ja aparece resolvida na versao 9
>(pagina 208). Ontem mesmo o Luis Lopes me
>enviou uma solucao para a questao (i). Eu ainda nao
>dei uma olhada na solucao para ver se eu entendo.
>Aparentemente esta bem detalhada, mas eh que
>minha geometria eh bem basica mesmo (como voces
>podem perceber pelas solucoes que eu incluo, onde
>eu acabo deduzindo uma serie de propriedades
>que "estao no sangue" de qualquer geometra). De qualquer forma,
>vou postar as questoes (i) e (iii) que nao
>tem solucao na versao 9. Solucoes para (i) e (iii)
>sao definitivamente bem-vindas.
>
>(i) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares.
>Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r'
>dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de
>M' sobre o plano que contem o triangulo MAB e' o
>ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico
>dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'.
>
>(iii) Dados dois circulos externos de raios distintos,
>mostre que o conjunto de secantes que determinam
>em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
>secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.
>
>Abraco,
>sergio
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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