[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade (divagando na solução).

["Ronaldo Luiz Alonso" <rlalonso@xxxxxxxxxx>]

> o que é trivial já que p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p pela desigualdade do 
> rearranjo.

   Eu nunca ouvi falar dessa desigualdade, mas acho que
  uma das formas de demonstrá-la
seria verificar todos os casos possíveis com p e q reais.

       p^2*p + q^2*q >= p^2*q + q^2*p
      p^2 (p-q) + q^2(q-p) >= 0
     p^2 (p-q) >= q^2(p-q)

Exemplo:

Supondo p== q temos igualdade
 OK.... pass
  Supondo  p > q , p>0, q>0  temos
    p^2 > q^2
OK ... pass
   Supondo q> p , p>0, q>0 ==> p-q < 0 e
     p^2 > q^2 (trocando o sinal).
OK... pass
    Os outros casos
(p>0,q<0  com p>q ), (p<0, q>0 com p>q ), (p<0,q<0 com p>q )
(p>0,q<0 com p<q), (p<0, q>0 com p<q), (p<0,q<0 com p<q)
são demonstrados de forma similares.

    Eu sei que essa maneira de demonstrar via "compilação"
de todos os casos é meio "tosca", mas
será que não pode ser interessante em problemas muito difícieis?

     Neste exemplo houve uma série de expansões de termos usando fatos 
conhecidos.
Exemplo:   Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr.
7(p+q+r)(pq+qr+rp) <= 2(p+q+r)^3 + 9pqr

Note que 2 = 2.1 foi expandido.

  Um provador automático de teoremas feito em Prolog, por exemplo
 poderia fazer essas expansões.O problema seria ele saber
 exatamente *o que* expandir.  É exatamente aí que entra o desafio, o 
sentimento e
a criatividade.


   Uma vez estava conversando com um amigo meu que estava terminando seu 
doutorado em análise.
   Ele havia concordado comigo que na matemática tudo são fatos e regras 
como na linguagem Prolog.
   Para quem não conhece Prolog:   http://en.wikipedia.org/wiki/Prolog

   Então não era difícil construir provadores de teorema que pudessem 
responder questões mais ou menos
simples via aplicação de regras.  Mas há um problema:  Cada axioma/hipótese 
do teorema é uma regra e
cada teorema no banco de dados do programa é uma regra.

    Se fôssemos usar a força bruta e aplicar
todas as regras indiscriminadamente isso iria gera uma explosão combinatória 
de sentenças e dificilmente
chegaríamos a solução ou a conclusão da verdade/falsidade do teorema 
chegando em regras atômicas que
por hipótese e/ou teoremas anteriores sabemos ser verdadeiras.

Claro que se soubéssemos quais regras expandir, não precisaríamos de
 computador... como nesse exercício.




 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================