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Re: [obm-l] Desigualdade
sejam p, q, r as raizes do polinomio, seja p(x) esses polinomios, teremos:
P(x) =ax^3 +bx^2+cx+d
mas, do enunciado:
p+q+r=1
p+q+r = -b/a
b=-a
E o polinomio se torna:
P(x) =ax^3 -ax^2+cx+d
achando as derivadas desse polinomio:
P´(x)= 3ax^2 -2ax +c
P"(x)=6ax -2a
como as raizes sao reais e nao negativas, os vertices do polinomio devem estar situados em OX positivo, e:
3ax^2 -2ax +c=0
deve ter duas raizes, dois vertices, logo:
4a^2 -4*3a*c>=0
a(a-3c)>=0
a>=3c
e ainda:
3ax^2 -2ax +c=0
Xv1,2 = [1 +-1raiz(1 -3*c/a)]/3
p+q+r=1
elevando ao quadrado
p^2+q^2+r^2 +2(pq +pr +qr)=1
p^2+q^2+r^2=1-2(pq +pr +qr)=1-2c/a
elevando a mesma igualdade ao cubo:
p+q+r=1
(p+q)^3 +3*(p+q)^2*r+3*(p+q)*r^2 +r^3 =1
p^3 +3*p^2*q +3*p*q^2+q^3 +3*(p^2+2pq+q^2)*r+3*(pr^2+qr^2)+r^3=1
p^3+q^3+r^3 +3*p^2*q +3*p*q^2 +6pq +3p^2 +3q^2 +3pr^2+3qr^2=1
dividindo pelo produto das raizes:
(p^3+q^3+r^3)/pqr +3*p/r +3*q/r +6/r+3p/qr +3q/pr +3r/q+3r/p=1/pqr
So deu para fazer ate aqui agora, tenho que ir para uma palestra.
On 4/15/06, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:
Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1.
Prove que 7(pq+qr+pr)<=2+9pqr.