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Tem uma outra muito boa pi = 355/113.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:37
PM
Subject: Re: [obm-l] Prove that 22/7 >
pi.
Boa tarde
22/7 é a *famosa* aproximação usada por
Arquimedes para \pi.
Além da maneira exposta, pode-se obter esse
resultado usando fatos absolutamente elementares de frações contínuas (ou
"continuadas" como parece que alguns modernosos gostam de chamar), uma vez que
22/7 aparece naturalmente ao expandir \pi em frações contínuas (é a segunda
reduzida).
Mais detalhes podem ser obtidos no livro
"Continued
fractions" de Beskin, N., Editora Mir (coleção Little math.
library)
Esse livro é muito bom e elementar, totalmente acessível a
estudantes do segundo grau.
(deve haver alguma trradução horrorosa
para castelhano ou, uma pior ainda, para português)
Manuel
Garcia
On 3/21/06, Luís
Lopes <
qed_texte@hotmail.com> wrote:
Sauda,c~oes,
Achei
esta mensagem interessante.
Um abraço,
Luís
>From:
"Nikolaos Dergiades" <ndergiades@.....>
>Reply-To: Hyacinthos@yahoogroups.com
>To:
<
Hyacinthos@yahoogroups.com>
>Subject: RE: [EMHL] Prove that
22/7 > pi
>Date: Sun, 19 Mar 2006 22:33:33
+0200
>
>Dear friends,
>M. T. ZED wrote:
>
>
> Prove that 22/7 > pi.
> > Help me
please.
>
>We have
>4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 +
4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)
>or in the interval ( 0, 1)
>4/(x^2+1)
< x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4
>and by integration from
0 to 1 we get pi < 22/7.
>Does anybody knows a geometric or a
simpler proof?
>
>Best regards
>Nikos
Dergiades
Escreva
x^4(1-x)^4 = x^4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1)
.
Agora some e subtraia termos para obter múltiplos de x^2 +1:
x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 = x^8 + 6x^6 + x^4 - 4x^5(x^2 +
1)
= (x^6-4x^5)(x^2 + 1) + 5x^6 + x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4)(x^2+1) -
4x^4
= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2)(x^2 + 1) + 4x^2
= (x^6 - 4x^5 + 5x^4
- 4x^2 + 4)(x^2 + 1) - 4
Transpondo e dividindo por x^2 + 1,
vem:
4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 -
x^4(1-x)^4/(x^2+1) qed
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Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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