1 - Defina a regi�o limitada por um poligono
Parece simples mas n�o �.
Imagine que vc tem 5 pontos com um aproximadamente no
centro
dos 5. Vc tem 4 possibilidades para pol�gonos n�o � mesmo?
Como definir ent�o, dentre esses 4 aquele que � de seu
interesse,
isto � que tem a regi�o limitada que vc quer?
Uma das maneiras � usar inequa��es!
ax+by > m por exemplo para cada par de dois pontos.
Qual a aplica��o disso? Bem... Isso tem aplica��o em
biof�sica para determina��o
da fase em estrutura de prote�nas.
[Artur Costa Steiner]
Tem tambem
aplicacao em muitos problemas de otimizacao, quando o conjunto viavel eh
um simplex que, no plano, eh uma regiao convexa.
2 - Se a regi�o limitada por um poligono � estrelada relativa a cada
v�rtice , ent�o a regi�o � convexa ?
Acredito que n�o. Mas n�o tenho certeza
[Artur Costa
Steiner]
Tambem acho que
nao, mas nao tenho uma prova agora .
Em uma regi�o convexa vc teoricamente poderia ligar quaisquer
pontos
sem sair do pol�gono. Ser� que sempre � poss�vel fazer isso em um
pol�gono estrelado?
O que me intriga � o significado da express�o: "relativa a cada v�rtice".
O que ela significa?
Vc pode ter pol�gonos estrelados encaixados um dentro do outro neste
caso?
3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um tri�ngulo com
um ponto do exterior , intersepita um dos lados do tri�ngulo
Use a seguinte propriedade de fun��es: Se f(x) <0 para x<a e
f(x) >0 para x>b ent�o existe um ponto (por
continuidade) entre a e b tal que f(x) = 0.
4 - discuta a 3� na circunfer�ncia .
[Artur Costa
Steiner]
Este e o anterior
podem tambem ser vistos como casos particulares de uma situacao geral: Se A eh
um subconjunto compacto de R^2 e p eh exterior a A, entao a funcao continua |
x -p| apresenta um minimo global em algum x* de A, no qual | x* - p|
>0. Podemos mostrar que
x* eh ponto de fronteira de A. (Na realidade, isto vale em
R^n)
Estou sem tempo agora,
se vc quiser podemos continuart depois.