RES: [obm-l] geometria plana

1 - Defina a região limitada por um poligono

Parece simples mas não é.

Imagine que vc tem 5 pontos com um aproximadamente no centro

dos 5. Vc tem 4 possibilidades para polígonos não é mesmo?

Como definir então, dentre esses 4 aquele que é de seu interesse,

isto é que tem a região limitada que vc quer?

Uma das maneiras é usar inequações!

ax+by > m por exemplo para cada par de dois pontos.

Qual a aplicação disso? Bem... Isso tem aplicação em biofísica para determinação

da fase em estrutura de proteínas.

[Artur Costa Steiner]

Tem tambem aplicacao em muitos problemas de otimizacao, quando o conjunto viavel eh um simplex que, no plano, eh uma regiao convexa.

2 - Se a região limitada por um poligono é estrelada relativa a cada vértice , então a região é convexa ?

Acredito que não. Mas não tenho certeza
[Artur Costa Steiner]

Tambem acho que nao, mas nao tenho uma prova agora .

Em uma região convexa vc teoricamente poderia ligar quaisquer pontos

sem sair do polígono. Será que sempre é possível fazer isso em um polígono estrelado?

O que me intriga é o significado da expressão: "relativa a cada vértice". O que ela significa?

Vc pode ter polígonos estrelados encaixados um dentro do outro neste caso?

3 - Prove que o segmento que une um ponto do interior de um triângulo com um ponto do exterior , intersepita um dos lados do triãngulo

Use a seguinte propriedade de funções: Se f(x) <0 para x<a e f(x) >0 para x>b então existe um ponto (por

continuidade) entre a e b tal que f(x) = 0.

4 - discuta a 3º na circunferência .
[Artur Costa Steiner]

Este e o anterior podem tambem ser vistos como casos particulares de uma situacao geral: Se A eh um subconjunto compacto de R^2 e p eh exterior a A, entao a funcao continua | x -p| apresenta um minimo global em algum x* de A, no qual | x* - p| >0. Podemos mostrar que x* eh ponto de fronteira de A. (Na realidade, isto vale em R^n)

Estou sem tempo agora, se vc quiser podemos continuart depois.