Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Nov 28, 2005 at 09:57:53PM -0200, kleinad2@globo.com wrote:
> Quando é que paramos o jogo? Quando eu souber que ganhei ou que perdi. Isso
> acontece (R = rodadas, C = cara , K = coroa) em
> 
> 5 R se saírem 5 C;
> 6 R se saírem 5 C e 1 K ou então 6 K;
> 7 R se saírem 5 C e 2 K ou então 6 K e 1 C;
> etc...
> 
> Para contar os evento, bastaria lembrar que a última moeda sempre corresponde
> ao desfecho do jogo, ou seja, se o jogo acabar na rodada X e eu perder então
> é porque deu cara, do contrário eu venci e deu coroa.
> 
> Então eu teria que (para (P,X) = # eventos em q perco na rodada X, (V,Y)
> = # eventos em q venço na rodada Y):
> 
> (P,X) = Bin(X-1, 4) e (V,Y) = Bin(Y-1,5).
> 
> Assim eu perco em P = Bin(10,5) eventos e venço em V = Bin(10,6) eventos,
> e o total é T = Bin(11,6). Assim a probabilidade de vencer é Prob = 210/462
> = 0,454545...
> 
> Não to conseguindo enxergar o erro deste raciocínio!

O erro está em supor que seqüências de comprimentos diferentes
são equiprováveis.

Espero não parecer grosseiro, mas acho que a discussão está um pouco
repetitiva. Minha sugestão para aqueles que não acreditam na solução
do gabarito (que, pelo que eu entendo, é igual à minha) é que tentem
um exemplo menor. Vamos jogar uma moeda até 4 vezes; você ganha se
saírem menos de duas caras e perdem se saírem pelo menos duas.
Qual a probabilidade de você ganhar?

Solução I (certa)

Vamos *sempre* jogar a moeda 4 vezes: existem assim 16 seqs equiprováveis:

CCCC (derrota)
CCCK (derrota)
CCKC (derrota)
CCKK (derrota)
CKCC (derrota)
CKCK (derrota)
CKKC (derrota)
CKKK (vitória)
KCCC (derrota)
KCCK (derrota)
KCKC (derrota)
KCKK (vitória)
KKCC (derrota)
KKCK (vitória)
KKKC (vitória)
KKKK (vitória)

Prob. de vencer = 5/16 = .3125

Solução II (errada)

Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro.
As possibilidades são:

CC   (derrota)
CKC  (derrota)
CKKC (derrota)
CKKK (vitória)
KCC  (derrota)
KCKC (derrota)
KCKK (vitória)
KKCC (derrota)
KKCK (vitória)
KKK  (vitória)

Como as 10 possibilidades são equiprováveis (O ERRO ESTÁ AQUI!), temos:
Prob. de vencer = 4/10 = .4

Solução III (versão corrigida da Solução II)

Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro.
Teremos 10 seqs, cada uma delas com prob 2^(-n) onde n é o comprimento da seq.
Mais explicitamente:

CC   (derrota) Prob = 1/4
CKC  (derrota) Prob = 1/8
CKKC (derrota) Prob = 1/16
CKKK (vitória) Prob = 1/16
KCC  (derrota) Prob = 1/8
KCKC (derrota) Prob = 1/16
KCKK (vitória) Prob = 1/16
KKCC (derrota) Prob = 1/16
KKCK (vitória) Prob = 1/16
KKK  (vitória) Prob = 1/8

Somando os casos vitoriosos, temos
Prob. de vencer = 5/16 = .3125

Agora se você continua não acreditando eu sugiro que você pegue uma
moeda e faça a experiência. Ou melhor ainda, escreva um programinha
de computador para fazer as experiências para você.

Se nem isto bastar, considere um exemplo mais extremo. Vamos jogar
a moeda até 7 vezes. Se cair pelo menos *uma* cara você perde.
Qual a sua probabilidade de ganhar?

Pelo raciocínio das soluções I e III dá 1/128.
Pelo raciocínio da solução II dá 1/8
(C, KC, KKC, KKKC, KKKKC, KKKKKC, KKKKKKC perdem; KKKKKKK ganha).
A diferença é tão grande que deve ser fácil testar com uma moeda
(se você achar necessário).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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