Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Agora ficou bem claro pra mim... Valeu

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Tue, 29 Nov 2005 10:26:20 -0200
 '>'From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Subject: Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'On Mon, Nov 28, 2005 at 09:57:53PM -0200, kleinad2@globo.com wrote:
 '>'> Quando � que paramos o jogo? Quando eu souber que ganhei ou que perdi.
 '>'Isso
 '>'> acontece (R = rodadas, C = cara , K = coroa) em
 '>'> 
 '>'> 5 R se sa�rem 5 C;
 '>'> 6 R se sa�rem 5 C e 1 K ou ent�o 6 K;
 '>'> 7 R se sa�rem 5 C e 2 K ou ent�o 6 K e 1 C;
 '>'> etc...
 '>'> 
 '>'> Para contar os evento, bastaria lembrar que a �ltima moeda sempre
corresponde
 '>'> ao desfecho do jogo, ou seja, se o jogo acabar na rodada X e eu perder
 '>'ent�o
 '>'> � porque deu cara, do contr�rio eu venci e deu coroa.
 '>'> 
 '>'> Ent�o eu teria que (para (P,X) = # eventos em q perco na rodada X,
(V,Y)
 '>'> = # eventos em q ven�o na rodada Y):
 '>'> 
 '>'> (P,X) = Bin(X-1, 4) e (V,Y) = Bin(Y-1,5).
 '>'> 
 '>'> Assim eu perco em P = Bin(10,5) eventos e ven�o em V = Bin(10,6) eventos,
 '>'> e o total � T = Bin(11,6). Assim a probabilidade de vencer � Prob
= 210/462
 '>'> = 0,454545...
 '>'> 
 '>'> N�o to conseguindo enxergar o erro deste racioc�nio!
 '>'
 '>'O erro est� em supor que seq��ncias de comprimentos diferentes
 '>'s�o equiprov�veis.
 '>'
 '>'Espero n�o parecer grosseiro, mas acho que a discuss�o est� um pouco
 '>'repetitiva. Minha sugest�o para aqueles que n�o acreditam na solu��o
 '>'do gabarito (que, pelo que eu entendo, � igual � minha) � que tentem
 '>'um exemplo menor. Vamos jogar uma moeda at� 4 vezes; voc� ganha se
 '>'sa�rem menos de duas caras e perdem se sa�rem pelo menos duas.
 '>'Qual a probabilidade de voc� ganhar?
 '>'
 '>'Solu��o I (certa)
 '>'
 '>'Vamos *sempre* jogar a moeda 4 vezes: existem assim 16 seqs equiprov�veis:
 '>'
 '>'CCCC (derrota)
 '>'CCCK (derrota)
 '>'CCKC (derrota)
 '>'CCKK (derrota)
 '>'CKCC (derrota)
 '>'CKCK (derrota)
 '>'CKKC (derrota)
 '>'CKKK (vit�ria)
 '>'KCCC (derrota)
 '>'KCCK (derrota)
 '>'KCKC (derrota)
 '>'KCKK (vit�ria)
 '>'KKCC (derrota)
 '>'KKCK (vit�ria)
 '>'KKKC (vit�ria)
 '>'KKKK (vit�ria)
 '>'
 '>'Prob. de vencer = 5/16 = .3125
 '>'
 '>'Solu��o II (errada)
 '>'
 '>'Vamos jogar a moeda at� obtermos dois C ou tr�s K, o que ocorrer primeiro.
 '>'As possibilidades s�o:
 '>'
 '>'CC   (derrota)
 '>'CKC  (derrota)
 '>'CKKC (derrota)
 '>'CKKK (vit�ria)
 '>'KCC  (derrota)
 '>'KCKC (derrota)
 '>'KCKK (vit�ria)
 '>'KKCC (derrota)
 '>'KKCK (vit�ria)
 '>'KKK  (vit�ria)
 '>'
 '>'Como as 10 possibilidades s�o equiprov�veis (O ERRO EST� AQUI!), temos:
 '>'Prob. de vencer = 4/10 = .4
 '>'
 '>'Solu��o III (vers�o corrigida da Solu��o II)
 '>'
 '>'Vamos jogar a moeda at� obtermos dois C ou tr�s K, o que ocorrer primeiro.
 '>'Teremos 10 seqs, cada uma delas com prob 2^(-n) onde n � o comprimento
da
 '>'seq.
 '>'Mais explicitamente:
 '>'
 '>'CC   (derrota) Prob = 1/4
 '>'CKC  (derrota) Prob = 1/8
 '>'CKKC (derrota) Prob = 1/16
 '>'CKKK (vit�ria) Prob = 1/16
 '>'KCC  (derrota) Prob = 1/8
 '>'KCKC (derrota) Prob = 1/16
 '>'KCKK (vit�ria) Prob = 1/16
 '>'KKCC (derrota) Prob = 1/16
 '>'KKCK (vit�ria) Prob = 1/16
 '>'KKK  (vit�ria) Prob = 1/8
 '>'
 '>'Somando os casos vitoriosos, temos
 '>'Prob. de vencer = 5/16 = .3125
 '>'
 '>'Agora se voc� continua n�o acreditando eu sugiro que voc� pegue uma
 '>'moeda e fa�a a experi�ncia. Ou melhor ainda, escreva um programinha
 '>'de computador para fazer as experi�ncias para voc�.
 '>'
 '>'Se nem isto bastar, considere um exemplo mais extremo. Vamos jogar
 '>'a moeda at� 7 vezes. Se cair pelo menos *uma* cara voc� perde.
 '>'Qual a sua probabilidade de ganhar?
 '>'
 '>'Pelo racioc�nio das solu��es I e III d� 1/128.
 '>'Pelo racioc�nio da solu��o II d� 1/8
 '>'(C, KC, KKC, KKKC, KKKKC, KKKKKC, KKKKKKC perdem; KKKKKKK ganha).
 '>'A diferen�a � t�o grande que deve ser f�cil testar com uma moeda
 '>'(se voc� achar necess�rio).
 '>'
 '>'[]s, N.
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 '>'Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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