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Duas solu��es para essa quest�o, bem como as
solu��es de todas as quest�es da prova de matem�tica do IME desse ano podem ser
encontradas por exemplo no site do Ponto de Ensino (onde eu
trabalho):
Uma solu��o poss�vel �: Como k eh primo, xy
multiplo de k => x ou y multiplo de k.
Se x=ak, a inteiro, temos substituindo na
equacao que y=ak/(a-1). Como y eh inteiro e mdc(a,a-1)=1, deve-se ter a-1
dividindo k. Sendo k primo, isso d� a-1 em {-k,-1,k,1} que d� a em {1-k, 0, 1+k,
2} e substituindo em x=ak e y=ak/(a-1) vc acha 4 solu��es. Trocando x com y
(i.e, fazendo y=ak) vc acha mais duas.
� interessante notar que essa quest�o
j� tinha aparecido antes na olimp�ada de matem�tica do Estado do Rio de Janeiro
de 1998 (por acaso foi uma prova que eu fiz como aluno, por isso lembrei
:)).
Abra�os,
Marcio
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