Eu supuz f(x) da forma ax^b, com a e b positivos.
Nesse caso, f^(-1)(x) = (x/a)^(1/b) e f'(x) =
abx^(b-1).
Igualando coeficientes e expoentes, eu achei:
1/a^(1/b) = ab e 1/b =
b-1 ==>
a = 1/b^(1/(1+1/b)) = 1/b^(1/b) e b^2
- b - 1 = 0
Como b > 0, só pode ser b = (1+raiz(5))/2.
Assim, f:(0,+inf) -> (0,+inf) dada por:
f(x) = ax^b, com b = (1+raiz(5))/2 e a =
1/b^(1/b) é tal que:
f^(-1)(x) = f'(x) para cada x em (0,+inf).
Mais uma aparição (inusitada ?) da razão áurea...
***
O problema geral, de resolver a equação diferencial f'(x) = f^(-1)(x) em
(0,+inf), me parece mais complicado.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 26 Oct 2005
10:29:51 -0200 |
| Assunto: |
RES: RES: [obm-l]
inversa = derivada |
> Assim, talvez
exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma
como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica
que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f'
existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em
todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh
diferenciavel em (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf). Assim,
uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada
segunda exista em (0, + inf). Nao que isso ajude
muito......
>
> Artur
>
>
> Mudemos o enunciado:
>
> Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) ->
(0,+inf) tal que:
> f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf).
>
> É possível achar todas as f com esta propriedade?
>
> []s,
> Claudio.