Re:[obm-l] equacao

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
e' possivel tambem outras solucoes:

zk - zw = -wk
=> z = -wk/(k-w)
Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)

Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)

Abraco,
sergio

On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:

> Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.
> 
> A equação fica (z + w)k = dzw.
> 
> k não pode dividir z pois z = km ==>
> (km + w)k = dkmw ==>
> km + w = dmw ==>
> w = m(dw - k) ==>
> m divide w ==>
> contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
> 
> Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
> 
> Logo, k divide d ==>
> d = kn ==>
> (z + w)k = knzw ==>
> z + w = nzw ==>
> 1/w + 1/z = n = inteiro positivo
> 
> Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.
> 
> Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>
> uma solução é (2k,2k).
> 
> Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>
> z = w = 2  e  d = k  ==>
> de novo obtemos a solução (2k,2k).
> 
> Logo, a única solução é (2k,2k).
> 
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 +0000 (GMT)
> 
> Assunto:[obm-l] equacao
> 
> > Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo
> 
> 
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> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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