Re:[obm-l] equacao

Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1.

A equação fica (z + w)k = dzw.

k não pode dividir z pois z = km ==>

(km + w)k = dkmw ==>

km + w = dmw ==>

w = m(dw - k) ==>

m divide w ==>

contradição, pois z (e portanto m) é primo com w

Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.

Logo, k divide d ==>

d = kn ==>

(z + w)k = knzw ==>

z + w = nzw ==>

1/w + 1/z = n = inteiro positivo

Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w <= 2.

Se z = w = 1, então x = y = d ==> 2dk = d^2 ==> d = 2k ==>

uma solução é (2k,2k).

Se z > 1 ou w > 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==>

z = w = 2 e d = k ==>

de novo obtemos a solução (2k,2k).

Logo, a única solução é (2k,2k).

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] equacao

> Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo

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