Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros

["Marcelo Rufino" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

As soluções de algumas das questões seguem abaixo.

> Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei como 
> resolver.
>
> 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1))
> 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo.

Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!]   =>   d | (p - 1)! - 1 e d | p!   =>   d | 
p[(p - 1)! - 1] - p!   =>   d | - p   =>   d = 1 ou d = p
Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), ou 
seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1.
Logo, a única possibilidade é d = 1.

> 3. Mostrar que para n>=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! é 9.

Como para n >= 4 temos que 12 | n!, então o resto da divisão de 
1!+2!+3!+...+n! por 12 é igual ao resto da divisão de 1! + 2! + 3! = 9 por 
12, que vale 9.

> 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado.

Observe que:
(3x)^2 = 9x^2 = 3k,
(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 3(3x^2 + 2x) + 1 = 3k + 1,
(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 = 3(3x^2 + 4x + 1) + 3 = 3k + 1
Logo, todo quadrado perfeito deixa resto o ou 1 na divisão por 3. Como 
3n^2 - 1 deixa resto 2 na divisão por 3 então não pode ser quadrado 
perfeito.

> 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n.
> 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes inteiros 
> onde a_n>0 e n>=1. Mostrar que f(x) é composto para infinitos valores da 
> variável x.
> 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos a^fi(b)+b^fi(a)=1 
> (mod ab)

Até mais,
Marcelo Rufino



>
> Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los?
>
> Obrigado,
>
> Aldo.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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