Re: [obm-l] Problemas de Teoria de Numeros

[Adroaldo Munhoz <amunhoz@xxxxxxxxx>]

Eu não entendi porque o Cláudio Buffara deu a solução abaixo pra questão 
"Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo" e a 
resposta do Marcelo Rufino deu diferente? Tem alguma razão? Onde está o 
erro?

-- Resposta do Cláudio Buffara
p divide ambos e, além disso, p^2 não divide p!.
Qualquer primo maior do que p não divide p!
Qualquer primo menor do que p não divide (p-1)! - 1.
Logo, mdc = p.

-- Resposta do Marcelo Rufino
Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!]   =>   d | (p - 1)! - 1 e d | p!   =>   
d | p[(p - 1)! - 1] - p!   =>   d | - p   =>   d = 1 ou d = p
Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), 
ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1.
Logo, a única possibilidade é d = 1.

Abraços,
Aldo

Marcelo Rufino wrote:

> As soluções de algumas das questões seguem abaixo.
>
>> Pessoal, estou com alguns problemas de Teoria de Números que não sei 
>> como resolver.
>>
>> 1. Provar que para p primo (p-1)!=p-1 (mod 1+2+3+...+(p-1))
>> 2. Encontrar o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p!, com p primo.
>
>
> Seja d = mdc [(p - 1)! - 1, p!]   =>   d | (p - 1)! - 1 e d | p!   
> =>   d | p[(p - 1)! - 1] - p!   =>   d | - p   =>   d = 1 ou d = p
> Entretanto, pelo teorema de Wilson, temos que (p - 1)! = - 1 (mpd. p), 
> ou seja, (p - 1)! - 1 = - 2 (mod. p), ou seja, p não divide (p - 1)! - 1.
> Logo, a única possibilidade é d = 1.
>
>> 3. Mostrar que para n>=4 o resto da divisão por 12 de 1!+2!+3!+...+n! 
>> é 9.
>
>
> Como para n >= 4 temos que 12 | n!, então o resto da divisão de 
> 1!+2!+3!+...+n! por 12 é igual ao resto da divisão de 1! + 2! + 3! = 9 
> por 12, que vale 9.
>
>> 4. Mostrar que para todo n inteiro 3n^2-1 nunca é um quadrado.
>
>
> Observe que:
> (3x)^2 = 9x^2 = 3k,
> (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 = 3(3x^2 + 2x) + 1 = 3k + 1,
> (3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 = 3(3x^2 + 4x + 1) + 3 = 3k + 1
> Logo, todo quadrado perfeito deixa resto o ou 1 na divisão por 3. Como 
> 3n^2 - 1 deixa resto 2 na divisão por 3 então não pode ser quadrado 
> perfeito.
>
>> 5. Mostrar que 5n^3+7n^5=0 (mod 12) para todo n.
>> 6. Seja f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n um polinômio com coeficientes 
>> inteiros onde a_n>0 e n>=1. Mostrar que f(x) é composto para 
>> infinitos valores da variável x.
>> 7. Mostrar que para a e b inteiros, com (a, b)=1 temos 
>> a^fi(b)+b^fi(a)=1 (mod ab)
>
>
> Até mais,
> Marcelo Rufino
>
>
>
>>
>> Será que alguém pode me ajudar a resolvê-los?
>>
>> Obrigado,
>>
>> Aldo.
>>
>> ========================================================================= 
>>
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> ========================================================================= 
>>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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