Re: [obm-l] Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Caio,

Primeiro, observe que (2xy)/(x+y) =
1/{[(1/x)+(1/y)]/2}. Escrevendo a condição ii como
f(1/{[(1/x)+(1/y)]/2}) >= [f(1/(1/x)) + f(1/(1/y))]/2
e fazendo a substituição a=1/x e b=1/y, temos
f(1/[(a+b)/2]) >= [f(1/a) + f(1/b)]/2. Deste modo,
parece interessante considerar a função g(x) = f(1/x).

A condição i fica x > y => f(x) > f(y) <=> g(1/x) >
g(1/y). Assim, como x > y <=> 1/x < 1/y, substituindo
a = 1/x e b = 1/y, obtemos a < b => g(a) > g(b), ou
seja, g é decrescente.

A condição ii fica g([a+b]/2) >= [g(a) + g(b)]/2. a,
[a+b]/2, b é uma PG de três termos, então parece
interessante pensar em a = n-1 e b = n+1. De fato,
substituindo obtemos
    g(n) >= [g(n-1) + g(n+1)]/2
<=> g(n) - g(n+1) >= g(n-1) - g(n)

Podemos aplicar essa desigualdade para n =
2,3,...,k-1. Como g é decrescente, g(1) - g(2) > 0.
Seja então d = g(1) - g(2).
  g(1) - g(2) = d
  g(2) - g(3) >= g(1) - g(2) = d
  g(3) - g(4) >= g(2) - g(3) >= d
  g(4) - g(5) >= g(3) - g(4) >= d
  ...
  g(k-1) - g(k) >= g(k-2) - g(k-1) >= d

Somando respectivamente os extremos esquerdo e direito
das desigualdades acima, obtemos
  g(1) - g(k) >= (k-1)d <=> g(k) <= g(1) - (k-1)d

Mas essa desigualdade vale para todo k inteiro
positivo. Em particular, existe k tal que (k-1)d >
g(1), já que d é positivo. Logo, para esse valor de k
temos g(k) < 0.

Espero que tenha ajudado.

Aliás, as resoluções de todas as OBMs desde 1998 até
2003 podem ser encontradas em diversas edições da
revista Eureka! (se não me engano, 4, 7, 10, 13, 16,
19, respectivamente, mas não tenho certeza). As
resoluções são, em geral, dos próprios alunos. Vale a
pena ver!

No site da OBM, você pode encontrar as Eureka!s para
download:
  http://www.obm.org.br/
e vá no link "Revista Eureka!".

Outro lugar muito bom para encontrar várias provas de
olimpíadas (incluindo a OBM, mas tudo em inglês) é o
site do John Scholes:
  http://www.kalva.demon.co.uk/

É claro que nos links do site da OBM tem várias outras
referências de sites muito boas; vale a pena conferir!

[]'s
Shine

--- caiosg@globo.com wrote:

> Alguem aí ve uma saída pra mim?
> 
> Questao:
> é dada uma função: (0,+infinito)-> R
> tal que
> 
> i) x>y => f(x) > f(y)
> 
> ii) f[(2xy)/(x+y)] >= [f(x)+f(y)]/2
> 
> 
> Prove q existe c>0 tal que f(c) <0
> 
> 
> -----------------------------------
> obs: eu consegui chegar que
> f( (x+y)/2)>= [f(x)+f(y)]/2 para todo x,y >0 , será
> q ajuda em alguma coisa?
> 
>  
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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