[obm-l] Mais uma de funções

[Bruno França dos Reis <bfreis@xxxxxxxxx>]

Olá
Acabo de ler a mensagem do Caio e a resposta do Shine na mensagem com
assunto "Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem", o que me
lembrou uma questão (ao meu ver, mais simples que aquela) com a qual eu
brincava há um tempo. Desculpem, mas não tenho o enunciado preciso. Eis
a questão:

A função f: R -> R possui as seguintes propriedades:

(i) x < y ==> f(y) < f(x)
(ii) f([x+y]/2) > [f(x) + f(y)]/2, para todo x != y

Mostre que existe c tal que f(c) < 0.


Resolvi a questão por 2 métodos diferentes (não vou postá-los, pelos
menos por enquanto, para quem quiser tentar), mas ainda não me senti
satisfeito.

Intuitivamente eu imagino que f seja contínua tenha concavidade para
baixo, i.e., o gráfico de f está abaixo de qualquer reta tangente ao
gráfico. Pensei então em tentar provar isso, mostrando a continuidade
de f, a derivabilidade de f até 2a. ordem e então mostrar que a
derivada 2a. é negativa. Como alguns podem estar pensando, esse método
para a resolução, se é que é possível, é muito trabalhoso e
complicado... e daí?? :-)

Bom, se alguém puder me dizer se é possível seguir esse caminho e me
fornecer dicas de como fazê-lo, ou então mostrar que não é possível
resolver dessa forma (seja lá pelo motivo que for, i.e., f não
necessariamente é contínua, ou derivável, ou etc.), ficarei grato!

Abraço
Bruno

-- 
Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0