[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?Re=3A=20=5Bobm=2Dl=5D=20Quest=2E=20de=20Fun=EF=EFo=20=2D=20URGENTE=2C=20por=20favor=20ajudem?=

[caiosg@xxxxxxxxx]

Shine, muito obrigado mesmo

um grande abraço ae
Caio
 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Mon, 11 Jul 2005 15:20:06 -0700 (PDT)
 '>'From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
 '>'Subject: Re: [obm-l] Quest. de Função - URGENTE, por favor ajudem
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Oi Caio,
 '>'
 '>'Primeiro, observe que (2xy)/(x+y) =
 '>'1/{[(1/x)+(1/y)]/2}. Escrevendo a condição ii como
 '>'f(1/{[(1/x)+(1/y)]/2}) >= [f(1/(1/x)) + f(1/(1/y))]/2
 '>'e fazendo a substituição a=1/x e b=1/y, temos
 '>'f(1/[(a+b)/2]) >= [f(1/a) + f(1/b)]/2. Deste modo,
 '>'parece interessante considerar a função g(x) = f(1/x).
 '>'
 '>'A condição i fica x > y => f(x) > f(y) <=> g(1/x) >
 '>'g(1/y). Assim, como x > y <=> 1/x < 1/y, substituindo
 '>'a = 1/x e b = 1/y, obtemos a < b => g(a) > g(b), ou
 '>'seja, g é decrescente.
 '>'
 '>'A condição ii fica g([a+b]/2) >= [g(a) + g(b)]/2. a,
 '>'[a+b]/2, b é uma PG de três termos, então parece
 '>'interessante pensar em a = n-1 e b = n+1. De fato,
 '>'substituindo obtemos
 '>'    g(n) >= [g(n-1) + g(n+1)]/2
 '>'<=> g(n) - g(n+1) >= g(n-1) - g(n)
 '>'
 '>'Podemos aplicar essa desigualdade para n =
 '>'2,3,...,k-1. Como g é decrescente, g(1) - g(2) > 0.
 '>'Seja então d = g(1) - g(2).
 '>'  g(1) - g(2) = d
 '>'  g(2) - g(3) >= g(1) - g(2) = d
 '>'  g(3) - g(4) >= g(2) - g(3) >= d
 '>'  g(4) - g(5) >= g(3) - g(4) >= d
 '>'  ...
 '>'  g(k-1) - g(k) >= g(k-2) - g(k-1) >= d
 '>'
 '>'Somando respectivamente os extremos esquerdo e direito
 '>'das desigualdades acima, obtemos
 '>'  g(1) - g(k) >= (k-1)d <=> g(k) <= g(1) - (k-1)d
 '>'
 '>'Mas essa desigualdade vale para todo k inteiro
 '>'positivo. Em particular, existe k tal que (k-1)d >
 '>'g(1), já que d é positivo. Logo, para esse valor de k
 '>'temos g(k) < 0.
 '>'
 '>'Espero que tenha ajudado.
 '>'
 '>'Aliás, as resoluções de todas as OBMs desde 1998 até
 '>'2003 podem ser encontradas em diversas edições da
 '>'revista Eureka! (se não me engano, 4, 7, 10, 13, 16,
 '>'19, respectivamente, mas não tenho certeza). As
 '>'resoluções são, em geral, dos próprios alunos. Vale a
 '>'pena ver!
 '>'
 '>'No site da OBM, você pode encontrar as Eureka!s para
 '>'download:
 '>'  http://www.obm.org.br/
 '>'e vá no link "Revista Eureka!".
 '>'
 '>'Outro lugar muito bom para encontrar várias provas de
 '>'olimpíadas (incluindo a OBM, mas tudo em inglês) é o
 '>'site do John Scholes:
 '>'  http://www.kalva.demon.co.uk/
 '>'
 '>'É claro que nos links do site da OBM tem várias outras
 '>'referências de sites muito boas; vale a pena conferir!
 '>'
 '>'[]'s
 '>'Shine
 '>'
 '>'--- caiosg@globo.com wrote:
 '>'
 '>'> Alguem aí ve uma saída pra mim?
 '>'> 
 '>'> Questao:
 '>'> é dada uma função: (0,+infinito)-> R
 '>'> tal que
 '>'> 
 '>'> i) x>y => f(x) > f(y)
 '>'> 
 '>'> ii) f[(2xy)/(x+y)] >= [f(x)+f(y)]/2
 '>'> 
 '>'> 
 '>'> Prove q existe c>0 tal que f(c) <0
 '>'> 
 '>'> 
 '>'> -----------------------------------
 '>'> obs: eu consegui chegar que
 '>'> f( (x+y)/2)>= [f(x)+f(y)]/2 para todo x,y >0 , será
 '>'> q ajuda em alguma coisa?
 '>'> 
 '>'>  
 '>'> 
 '>'> 
 '>'>
 '>'=========================================================================
 '>'> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 '>'> usar a lista em
 '>'> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 '>'>
 '>'=========================================================================
 '>'> 
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 '>'		
 '>'__________________________________ 
 '>'Yahoo! Mail for Mobile 
 '>'Take Yahoo! Mail with you! Check email on your mobile phone. 
 '>'http://mobile.yahoo.com/learn/mail 
 '>'=========================================================================
 '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 '>'=========================================================================



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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