Re: [obm-l] Uma desigualdade legal!

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

É realmente complicado calcular essa derivada.. Uma possível solução para 
esse problema é simplesmente tirar o mmc.. Aqui está:

Vc quer provar que
   sym_sum (a^(x+2) + 1) / (a^x bc + 1) >= 6
E as passagens abaixo são equivalentes:

sym_sum (a^(x+2) + 1)(b^x ac + 1)(c^x ab + 1) >= 6(a^x bc + 1)(b^x ac + 
1)(c^x ab + 1)

sym_sum  (a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) + 2 * a^(x+3) b^x c + a^(x+2) + b^(x+1) 
c^(x+1) a^2 + 2*a^x bc + 1 )
    >= sym_sum ( a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2) +  3*a^(x+1) b^(x+1)c^2 + 3*a^x 
bc + 1)

Agora, pela desigualdade de muirhead (bunching), voce sabe que:

sym_sum [a^(x+4) b^(x+1) c^(x+1) - a^(x+2) * b^(x+2) * c^(x+2)] >= 0
sym_sum [2 * a^(x+3) b^x c - 2*a^(x+1) b^(x+1)c^2]  >=0
sym_sum [b^(x+1) c^(x+1) a^2 - a^(x+1) b^(x+1)c^2] = 0
sym_sum [a^(x+2) - a^x bc ] >= 0

Somando tudo voce conclui a desigualdade pedida.

Abraços,
Marcio

----- Original Message ----- 
From: "Marcos Martinelli" <mffmartinelli@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, July 10, 2005 4:22 PM
Subject: [obm-l] Uma desigualdade legal!


> Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai:
>
> Dados a,b,c,x reais positivos provar que:
>
> [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]>=3.
>
> Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a
> seguinte função
> f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda
> derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu
> problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva
> para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente
> mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe,
> até uma outra solução pro problema. Obrigado!
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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