RES: [obm-l] Uma desigualdade legal!

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Bom, se vc jah estudou um pouco de otimizacao (programacao nao-linear, neste
caso) sabe que, para x fixo e vendo-se a a expressao como funcao de a, b e
c, entao a simetria da funcao acarreta que o minimo global ocorra quando a=
b =c. Verificamos facilmente que neste caso cada uma das parcelas eh 1, de
modo que a soma minima eh 3.
Artur  

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Marcos Martinelli
Enviada em: domingo, 10 de julho de 2005 16:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Uma desigualdade legal!


Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai:

Dados a,b,c,x reais positivos provar que:

[a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1
]>=3.

Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a
seguinte função
f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda
derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu
problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva
para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente
mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe,
até uma outra solução pro problema. Obrigado!

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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