Re:[obm-l] soma binomial

["claudio.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Mon, 13 Jun 2005 20:46:59 +0000

Assunto:

[obm-l] soma binomial

> Sauda,c~oes,

>

> Algu�m saberia provar que

>

> \sum_{k=0}^n (3k-2n) \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k} = 0 ?

>

> []'s

> Lu�s

>

 

Oi, Lu�s:

 

Aqui vai minha tentativa:

 

Temos:

n bolas brancas, numeradas de 1 a n;

n bolas pretas, numeradas de 1 a n;

2 urnas: A e B.

 

Escolhemos uma das bolas para ser a "bola especial" e colocamos esta bola na urna A.

 

Formamos tamb�m um conjunto de bolas n�o-especiais com o mesmo n�mero de bolas brancas e bolas pretas. Metade das bolas desse conjunto s�o colocadas na urna B.

 

De quantas maneiras distintas podemos preencher as urnas A e B?

 

M�todo 1:

Escolha da bola especial para ser colocada na urna A:

2n

 

Para cada k (0 <= k <= n-1):

Escolha de k bolas n�o especiais com a mesma cor da bola especial:

Binom(n-1,k)

 

Escolha de k bolas n�o especiais com cor distinta da cor da bola especial:

Binom(n,k)

 

Escolha de metade das bolas n�o especiais que v�o para a urna B:

Binom(2k,k)

 

Total =

SOMA(0<=k<=n-1) 2n*Binom(n-1,k)*Binom(n,k)*Binom(2k,k) =

SOMA(0<=k<=n-1) 2*(n - k)*Binom(n,k)*Binom(n,k)*Binom(2k,k) =

SOMA(0<=k<=n) (2n - 2k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)

 

***

 

M�todo 2:

 

Para cada k (0 <= k <= n):

Escolha de k bolas brancas:

Binom(n,k)

 

Escolha de k bolas pretas:

Binom(n,k)

 

Escolha da bola especial, dentre as 2k bolas escolhidas:

2k

 

Escolha das k bolas que v�o para a urna B, dentre as 2k-1 bolas n�o especiais escolhidas:

Binom(2k-1,k)

 

Total =

SOMA(0<=k<=n) Binom(n,k)*Binom(n,k)*2k*Binom(2k-1,k) =

SOMA(0<=k<=n) k*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)

 

Logo, temos a identidade:

SOMA(0<=k<=n) (2n - 2k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k) =

SOMA(0<=k<=n) k*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)

 

De onde vem:

SOMA(0<=k<=n) (2n - 3k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k) = 0

 

[]s,

Claudio.