Re:[obm-l] soma binomial

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Ok. Obrigado. Imagino que tais identidades são estabelecidas
dentro de um contexto, como sua solução sugere. Mas e se
quisermos agora provar tais identidades fora de um contexto?

Sejam A_n = \sum_{k=0}^n 3k \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k}

e

B_n = \sum_{k=0}^n 2n \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k} .

Dá pra mostrar que A_n e B_n satisfazem a mesma recorrência e têm
os 10 (digamos) primeiros termos iguais? Ou que A_n=B_n por
indução? Ou usando as técnicas dos livros A=B ou Mat. Concreta?

[]'s
Luís

>From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re:[obm-l] soma binomial
>Date: Wed, 15 Jun 2005 00:43:35 -0300
>
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Cópia:
>
>Data:Mon, 13 Jun 2005 20:46:59 +0000
>
>Assunto:[obm-l] soma binomial
>
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Alguém saberia provar que
> >
> > \sum_{k=0}^n (3k-2n) \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k} = 0 ?
> >
> > []'s
> > Luís
> >
>
>Oi, Luís:
>
>Aqui vai minha tentativa:
>
>Temos:
>n bolas brancas, numeradas de 1 a n;
>n bolas pretas, numeradas de 1 a n;
>2 urnas: A e B.
>
>Escolhemos uma das bolas para ser a "bola especial" e colocamos esta bola 
>na urna A.
>
>Formamos também um conjunto de bolas não-especiais com o mesmo número de 
>bolas brancas e bolas pretas. Metade das bolas desse conjunto são colocadas 
>na urna B.
>
>De quantas maneiras distintas podemos preencher as urnas A e B?
>
>Método 1:
>Escolha da bola especial para ser colocada na urna A:
>2n
>
>Para cada k (0 <= k <= n-1):
>Escolha de k bolas não especiais com a mesma cor da bola especial:
>Binom(n-1,k)
>
>Escolha de k bolas não especiais com cor distinta da cor da bola especial:
>Binom(n,k)
>
>Escolha de metade das bolas não especiais que vão para a urna B:
>Binom(2k,k)
>
>Total =
>SOMA(0<=k<=n-1) 2n*Binom(n-1,k)*Binom(n,k)*Binom(2k,k) =
>SOMA(0<=k<=n-1) 2*(n - k)*Binom(n,k)*Binom(n,k)*Binom(2k,k) =
>SOMA(0<=k<=n) (2n - 2k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)
>
>***
>
>Método 2:
>
>Para cada k (0 <= k <= n):
>Escolha de k bolas brancas:
>Binom(n,k)
>
>Escolha de k bolas pretas:
>Binom(n,k)
>
>Escolha da bola especial, dentre as 2k bolas escolhidas:
>2k
>
>Escolha das k bolas que vão para a urna B, dentre as 2k-1 bolas não 
>especiais escolhidas:
>Binom(2k-1,k)
>
>Total =
>SOMA(0<=k<=n) Binom(n,k)*Binom(n,k)*2k*Binom(2k-1,k) =
>SOMA(0<=k<=n) k*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)
>
>Logo, temos a identidade:
>SOMA(0<=k<=n) (2n - 2k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k) =
>SOMA(0<=k<=n) k*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k)
>
>De onde vem:
>SOMA(0<=k<=n) (2n - 3k)*Binom(n,k)^2*Binom(2k,k) = 0
>
>[]s,
>Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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