RE: [obm-l] Analise

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'2) Seja f de Rn em Rn uma funcao de classe C1 assuma q
 '>'/f'(x)/ < 1 para todo x em Rn. Considere g(x)=x+f(x).
 '>'Mostre q g eh sobrejetiva.

Se com |f'(x)| vc está designando a norma usual de matrizes, ie, |f'(x)|
= sup{[f'(x)]h tal que |h| = 1}, eu sei provar o caso |f'(x)| <= a < 1 para
todo x em R^n.

A partir daí, fixado y em R^n, seja h(x) = y - f(x). Vale
|h(x) - h(z)| = |f(x) - f(z)| <= |f'(w)|*|x-z| <= a*|x-z| pela desigualdade
do valor médio, onde w está no segmento que une x a z.

Logo, h é contração e possui um único ponto fixo t. Vale t = y - f(t), isto
é, y = t + f(t). Agora é só fazer y variar.

Resta analizar o caso em que o supremo de |f?(x)|, x variando em R^n, é
1.

[]s,
Daniel




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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