[obm-l] Os Teoremas de Sylow

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

As demonstracoes dos teoremas abaixo podem ser encontradas em muitos livros 
de algebra. Os pre-requisitos para entender os teoremas sao os conceitos 
inicias de qualquer curso sobre grupos, tais como grupo normal, isomorfismos 
etc.

Os Teoremas de Sylow

( PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW) Seja G um Grupo e |G| = (p^N)*q. Onde "p" e um 
numero primo e "q" um numero natural qualquer tal que MDC(p,q)=1. Então, 
para todo natural M tal que 0 < M <= N existe um subgrupo de G de ordem p^M.

O enunciado e claro. Invocando este teorema você pode garantir a existência 
de determinados subgrupos em um dado grupo.

Exemplo 1 : Seja | G | = 24 = 3*8 = 3*(2^3). Olhando para a decomposicao em 
fatores primos da ordem de G e invocando o Primeiro Teorema de Sylow podemos 
garantir que em G há um subgrupo de ordem 3. Podemos também garantir que há 
um subgrupo de ordem 2 ( 2^1) , que há um subgrupo de ordem 4 (2^2) e que há 
um subgrupo de ordem 8 (2^3).

O subgrupo cuja existência e garantida pelo primeiro teorema de Sylow e que 
tem a maior ordem para um determinado primo "p" e chamado p-subgrupo de 
Sylow. Olhando para este exemplo em foco vemos que existe um 3-subgrupo de 
Sylow, cuja ordem e 3. Vemos também que há um 2-subgrupo de Sylow cuja ordem 
e 8.

O primeiro teorema de Sylow garante que há ao menos um p-subgrupo de Sylow, 
para cada primo "p" que aparece na decomposicao em fatores primos da ordem 
de G, mas nada nos informa sobre a quantidade deles. Assim, neste exemplo, 
eu sei que há um 2-subgrupo de Sylow ( de ordem 8=2^3 ) mas não sei, a 
priori, se há apenas um; eu sei que há um 3-subgrupo de Sylow ( de ordem 
3^1=3 ) mas não sei, a priori, se há apenas um.

Exemplo 2 : Seja |G| = 255 = 3*5*17. Invocando o primeiro Teorema de Sylow 
eu sei que há um 17-subgrupo de Sylow ( de ordem 17^1=17 ). Não sei, ainda, 
se há apenas um.

Fica claro portanto que o Primeiro Teorema de Sylow e um "teorema sobre 
existência". Ele garante que existe, mas não diz nada quanto a quantidade de 
subgrupos de determinado ordem. O segundo Teorema, em parte, esclarece esta 
duvida.


( SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW ) Seja G um Grupo e |G| = (p^N)*q. Onde "p" e um 
numero primo e "q" um numero natural qualquer tal que MDC(p,q)=1. Então :

A)Se S1 e S2 são dois p-subgrupos de Sylow de G então existe g pertencente a 
G tal que S2 = g*S1*(g^(-1))

B)O total de p-subgrupos de Sylow de G e Np=(G:N(S)), onde (G:N(S)) e o 
índice do normalizador de S em G, onde S e qualquer p-subgrupo de Sylow de 
G.


A parte A) do segundo teorema de Sylow nada nos fala da quantidade de 
p-subgrupos de Sylow, mas nos diz que, caso existam mais que um, eles estão 
relacionados, vale dizer, Se S1 e S2 são dois p-subgrupos de Sylow de G tal 
que S1 e diferente de S2 entao existe um elemento g do grupo G tal que :

S2= g*S1*(g^(-1))

Isto e o mesmo que dizer,

Qualquer que seja x pertencente a S2 existe y pertencente a S1 tal que x= 
g*y*(g^(-1)). Uma maneira pomposa de dizer isso e falar assim : quaisquer 
dois p-subgrupos de Sylow de G sao "conjugados".

Baseando-se neste item A)  podemos dizer que se existe apenas um p-subgrupo 
de Sylow de G então este subgrupo e normal em G. Com efeito, se H e um 
p-subgrupo de Sylow de G e sabemos que ele e único, então, para todo 
elemento g de G devemos ter H= g*H*(g^(-1))  => H e normal em G

O fato acima - importante - e uma verdade mais geral : Se B e o unico 
subgrupo de ordem N de um grupo A, entao B e normal em A. Nao e necessario 
que B seja um p-subgrupo de Sylow de A.

Enfim, se na analise de uma situação você concluir que um p-subgrupo de 
Sylow H de G e único, você pode imediatamente concluir que H e normal em G.

Seja agora um homomorfismo h:G ->G que sabemos ser bijetivo. Falamos isso 
dizendo que h e um "automorfismo" de G. Se K e subgrupo de G e K e o único 
subgrupo de ordem n, n qualquer, então h(K) e subgrupo. Pela bijetividade de 
h temos que h(K) em ordem n, isto e, h(K)=K, ou, h(K) esta contido em K. 
vale dizer, h(K) esta contido em K qualquer que seja o automorfismo h:G->G. 
Quando isso ocorre com um subgrupo K qualquer ( não necessariamente 
p-subgrupo de Sylow ) dizemos que K e ESTAVEL sob qualquer automorfismo, ou, 
da no mesmo, que K e um SUBGRUPO CARACTERISTICO de G.

Pelo que vimos acima, se H e o único p-subgrupo de Sylow de G então, alem de 
H ser normal em G ele também e um SUBGRUPO CARACTERISTICO de G, vale dizer, 
estável sob todos os automorfismo de G.

Agora, vamos entender o item B)

Seja S um p-subgrupo de Sylow de G. Por NORMALIZADOR de S em G, N(S), 
entendemos :

N(S)={ Todos os elementos g de G tais que g*S*(g^(-1))=S }

Pelo que foi dito acima, se S e o único p-subgrupo de Sylow de G então, para 
todo elemento g de G temos que g*S*(g^(-1))=S => N(S)=G. E claro que vale a 
recíproca, isto e, se, "para todo g em G, temos g*S*(g^(-1))=S  <=>  
N(S)=G".

Evidentemente, N(S) e um subgrupo de G. Mais que isso : N(S) e o maior 
subgrupo de G no qual S e normal. Com efeito, seja T um subgrupo de G tal 
que S e normal em T. Então, para todo elemento t de T temos que 
t*S*(t^(-1))=S => t e elmento de N(S) => T esta contido em N(S). Este fato 
notável tem implicações interessantes. Vou ressaltar uma bastante usada :

Suponha que S e um p-subgrupo de Sylow de G e que sabemos que S e normal em 
T, T um subgrupo de G. Então, como T esta contido em N(S), ou seja, N(S) e 
"maior" que T, então :

Np=(G:N(S)) <= (G:T)

Ou seja, o TOTAL DE P-SUBGRUPOS DE SYLOW DE G e menor ou igual ao índice de 
T em G.

Note que, evidentemente, S pode ser QUALQUER dos p-subgrupos de Sylow de G 
que porventura existam em G, pois eles tem a mesma ordem ( numero de 
elementos ) e isto e o que importa no índice (G:N(S)). Neste índice, não tem 
nenhuma importancia o fato de S ser normal em G ou não. Ele e apenas o 
Teorema de Lagrange visto de outra forma :

Se A e subgrupo de G, então, por Lagrange, |G|=|A|*(G:A)  => (G:A)=|G| / |A|

Ficou claro que se S e um p-subgrupo de Sylow de G entao o indice 
Np=(G:N(S)) e muito importante. E sobre o valor deste índice que fala o 
terceiro teorema de Sylow.

(TERCEIRO TEOREMA DE SYLOW ) Seja G um Grupo e |G| = (p^N)*q. Onde "p" e um 
numero primo e "q" um numero natural qualquer tal que MDC(p,q)=1. Seja S um 
p-subgrupo de Sylow de G. Entao, o numero Np=(G:N(S)), ou seja, o total de 
p-subgrupos de Sylow de G, satisfaz :

Np e congruo a 1(MOD p)
Np divide q

Não há o que falar aqui, tal e a simplicidade desse teorema. Não e so 
elementar compreende-lo, e "muito elementar" compreende-lo. Vou mostrar uma 
aplicação :

Seja G tal que |G|=255=3*5*17. Eu afirmo que existe um único 17-subgrupo de 
Sylow de G, um único 5-subgrupo de Sylow de G e um único 3-subgrupo de Sylow 
de G.

Seja N17 o total de 17-subgrupos de Sylow de G. Pelo primeiro teorema de 
Sylow existe ao menos um. Pelo Terceiro teorema :

N17 == 1 (MOD 17)
N17 divide 15 ( 3*5 )

Pela primeira relação, N17 = 1, 18, 35, ... uma PA de razão 17. Pela segunda 
relação, apenas N17=1 serve. Logo, N17=1. Existe portanto um único 
17-subgrupo de Sylow em G. Seja H este único 17-subgrupo de Sylow. H e 
normal em G, pelo que vimos acima.

Invocando o primeiro teorema de Sylow sabemos que existe ao menos um  
3-subgrupo de Sylow. Seja N3 o total deles. Pelo terceiro teorema de Sylow :

N3==1(MOD 3)
N3 divide 85 ( 5*17 )

Pela primeira relação, N3=1, 4,7,...,85,88, PA de razão 3. E fácil perceber 
por computação direta - considerando-se a segunda relação - que N3=1 ou 
N3=85. Seja I um 3-subgrupo de Sylow.

Já vimos que H ( o único 17-subgrupo de Sylow ) e normal em G. Logo, HI e um 
sugbrupo de G. Todos os elementos de H - {e} tem ordem 17 e todos os 
elementos de I - {e} tem ordem 3. Logo : H interseção I = {e} => ordem de H 
interseção I = 1 => | HI | = |H|*|I| => |HI|=17*3=51.

E claro que I e subgrupo de HI={ h*i, h em H e i em I }. Assim, I e um 
3-subgrupo de Sylow de HI. Seja X o total destes 3-subgrupos de Sylow. 
Aplicando o Terceiro teorema de Sylow  aqui :

X == 1 (MOD 3)
X divide 17

Evidentemente, so X=1 satisfaz. Logo I e único. Logo I e normal em HI. Mas, 
N(I), o normalizador de I em G e o maior subgrupo de G no qual I e normal. 
Logo :

N3=(G:N(I)) <= (G:HI)=5

O terceiro teorema de Sylow nos indicou que N3=1 ou N3=85. Agora sabemos que 
N3 <= 5. Logo : N3=1.

Usando um raciocínio absolutamente semelhante você pode concluir que N5=1. 
Assim :

N3=1, N5=1 e N17=1
Como queríamos demonstrar

*** ABRE PARENTESES
Agora que estou escrevendo, ocorreu-me uma outra idéia, mais bela e simples. 
Ela começa assim : Não pode ser N3=85 e N5=51 simultaneamente, pois isso 
daria mais elementos que o grupo tem, um absurdo. Logo, N3=1 ou N5=1 . E 
assim vai ...
*** FECHA PARENTESES

Todo grupo de ordem prima e cíclico e isomorfo ao respectivo (Z/pZ) e todo 
grupo e produto direto dos seus p-subgrupos. Assim:

G ~ (Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z) como 3,5,17 são dois a dois primos entre si, posso 
aplicar o teorema chinês dos restos. Logo : (Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z) ~ 
(Z/255Z). E daqui chegamos a : G ~ (Z/255Z). Ou seja :

"A menos de isomorfismos, existe apenas um grupo de ordem 255"

Vejam como os TEOREMAS DE SYLOW são faceis de entender...  tão faceis que 
numa única mensagem eu os enunciei, os expliquei e os apliquei. O meu 
interesse foi o de - contribuindo para esta lista que me e tão cara - 
mostrar objetivamente a vocês que esses teoremas são, em verdade e 
honestamente, elementares e de facílima compreensão. Nao ha porque portanto 
nos privarmos de os aplicar

Agora, usando estes metodos que aqui mostrei serem elementares, vejam como 
fica trivial mostrar há um único grupo de ordem 15 :

|G|=15=3*5.  Aplicando o terceiro teorema de Sylow e fácil ver que N3=1 e 
N5=1. Seja I e J esses grupos. Como 3 e 5 são primos, claramente que I = 
(Z/3Z) e J=(Z/5Z). G e produto direto dos seus p-subgrupos de Sylow. Logo: G 
= (Z/3Z)*(Z/5Z). Como 3 e 5 são primos entre si, posso aplicar o teorema 
chines. Logo G ~ (Z/15Z) ~ (Z/3Z)*(Z/5Z)

Bom, agora, um convite para uma investigacao :

Voce pode facilmente ir alem dos Teoremas de Sylow e descobrir coisas 
interessantes... no segundo teorema de Sylow há uma omissão evidente, qual 
seja, ele so se refere aos P-SUBGRUPOS DE SYLOW, ou seja, se |G|=(p^N)*q com 
MDC(p,q)=1 e M e um natural não nulo tal que M < N, ele nada diz sobre os 
subgrupos de ordem p^M.  Sobre estes subgrupos nos já sabemos que :

1) Para todo A, A um p-grupo de ordem p^M,  existe um B, B um p-subgrupo de 
Sylow, tal que A esta contido em B

2) (FROBENIUS) O total de p-subgrupos de ordem p^M e congruo a 1 ( modulo p 
)

Seria interessante se pudéssemos complementar o Teorema de Frobenius e obter 
mais informações sobre o numero de p-subgrupos de ordem p^M, com M < N.

Um Abraço a Todos
Paulo Santa Rita

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