[obm-l] Os Teoremas de Sylow

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

As demonstracoes dos teoremas abaixo podem ser encontradas em muitos livros 
de algebra. Os pre-requisitos para entender os teoremas sao os conceitos 
inicias de qualquer curso sobre grupos, tais como grupo normal, isomorfismos 
etc.

Os Teoremas de Sylow

( PRIMEIRO TEOREMA DE SYLOW) Seja G um Grupo e |G| = (p^N)*q. Onde "p" e um 
numero primo e "q" um numero natural qualquer tal que MDC(p,q)=1. Ent�o, 
para todo natural M tal que 0 < M <= N existe um subgrupo de G de ordem p^M.

O enunciado e claro. Invocando este teorema voc� pode garantir a exist�ncia 
de determinados subgrupos em um dado grupo.

Exemplo 1 : Seja | G | = 24 = 3*8 = 3*(2^3). Olhando para a decomposicao em 
fatores primos da ordem de G e invocando o Primeiro Teorema de Sylow podemos 
garantir que em G h� um subgrupo de ordem 3. Podemos tamb�m garantir que h� 
um subgrupo de ordem 2 ( 2^1) , que h� um subgrupo de ordem 4 (2^2) e que h� 
um subgrupo de ordem 8 (2^3).

O subgrupo cuja exist�ncia e garantida pelo primeiro teorema de Sylow e que 
tem a maior ordem para um determinado primo "p" e chamado p-subgrupo de 
Sylow. Olhando para este exemplo em foco vemos que existe um 3-subgrupo de 
Sylow, cuja ordem e 3. Vemos tamb�m que h� um 2-subgrupo de Sylow cuja ordem 
e 8.

O primeiro teorema de Sylow garante que h� ao menos um p-subgrupo de Sylow, 
para cada primo "p" que aparece na decomposicao em fatores primos da ordem 
de G, mas nada nos informa sobre a quantidade deles. Assim, neste exemplo, 
eu sei que h� um 2-subgrupo de Sylow ( de ordem 8=2^3 ) mas n�o sei, a 
priori, se h� apenas um; eu sei que h� um 3-subgrupo de Sylow ( de ordem 
3^1=3 ) mas n�o sei, a priori, se h� apenas um.

Exemplo 2 : Seja |G| = 255 = 3*5*17. Invocando o primeiro Teorema de Sylow 
eu sei que h� um 17-subgrupo de Sylow ( de ordem 17^1=17 ). N�o sei, ainda, 
se h� apenas um.

Fica claro portanto que o Primeiro Teorema de Sylow e um "teorema sobre 
exist�ncia". Ele garante que existe, mas n�o diz nada quanto a quantidade de 
subgrupos de determinado ordem. O segundo Teorema, em parte, esclarece esta 
duvida.


( SEGUNDO TEOREMA DE SYLOW ) Seja G um Grupo e |G| = (p^N)*q. Onde "p" e um 
numero primo e "q" um numero natural qualquer tal que MDC(p,q)=1. Ent�o :

A)Se S1 e S2 s�o dois p-subgrupos de Sylow de G ent�o existe g pertencente a 
G tal que S2 = g*S1*(g^(-1))

B)O total de p-subgrupos de Sylow de G e Np=(G:N(S)), onde (G:N(S)) e o 
�ndice do normalizador de S em G, onde S e qualquer p-subgrupo de Sylow de 
G.


A parte A) do segundo teorema de Sylow nada nos fala da quantidade de 
p-subgrupos de Sylow, mas nos diz que, caso existam mais que um, eles est�o 
relacionados, vale dizer, Se S1 e S2 s�o dois p-subgrupos de Sylow de G tal 
que S1 e diferente de S2 entao existe um elemento g do grupo G tal que :

S2= g*S1*(g^(-1))

Isto e o mesmo que dizer,

Qualquer que seja x pertencente a S2 existe y pertencente a S1 tal que x= 
g*y*(g^(-1)). Uma maneira pomposa de dizer isso e falar assim : quaisquer 
dois p-subgrupos de Sylow de G sao "conjugados".

Baseando-se neste item A)  podemos dizer que se existe apenas um p-subgrupo 
de Sylow de G ent�o este subgrupo e normal em G. Com efeito, se H e um 
p-subgrupo de Sylow de G e sabemos que ele e �nico, ent�o, para todo 
elemento g de G devemos ter H= g*H*(g^(-1))  => H e normal em G

O fato acima - importante - e uma verdade mais geral : Se B e o unico 
subgrupo de ordem N de um grupo A, entao B e normal em A. Nao e necessario 
que B seja um p-subgrupo de Sylow de A.

Enfim, se na analise de uma situa��o voc� concluir que um p-subgrupo de 
Sylow H de G e �nico, voc� pode imediatamente concluir que H e normal em G.

Seja agora um homomorfismo h:G ->G que sabemos ser bijetivo. Falamos isso 
dizendo que h e um "automorfismo" de G. Se K e subgrupo de G e K e o �nico 
subgrupo de ordem n, n qualquer, ent�o h(K) e subgrupo. Pela bijetividade de 
h temos que h(K) em ordem n, isto e, h(K)=K, ou, h(K) esta contido em K. 
vale dizer, h(K) esta contido em K qualquer que seja o automorfismo h:G->G. 
Quando isso ocorre com um subgrupo K qualquer ( n�o necessariamente 
p-subgrupo de Sylow ) dizemos que K e ESTAVEL sob qualquer automorfismo, ou, 
da no mesmo, que K e um SUBGRUPO CARACTERISTICO de G.

Pelo que vimos acima, se H e o �nico p-subgrupo de Sylow de G ent�o, alem de 
H ser normal em G ele tamb�m e um SUBGRUPO CARACTERISTICO de G, vale dizer, 
est�vel sob todos os automorfismo de G.

Agora, vamos entender o item B)

Seja S um p-subgrupo de Sylow de G. Por NORMALIZADOR de S em G, N(S), 
entendemos :

N(S)={ Todos os elementos g de G tais que g*S*(g^(-1))=S }

Pelo que foi dito acima, se S e o �nico p-subgrupo de Sylow de G ent�o, para 
todo elemento g de G temos que g*S*(g^(-1))=S => N(S)=G. E claro que vale a 
rec�proca, isto e, se, "para todo g em G, temos g*S*(g^(-1))=S  <=>  
N(S)=G".

Evidentemente, N(S) e um subgrupo de G. Mais que isso : N(S) e o maior 
subgrupo de G no qual S e normal. Com efeito, seja T um subgrupo de G tal 
que S e normal em T. Ent�o, para todo elemento t de T temos que 
t*S*(t^(-1))=S => t e elmento de N(S) => T esta contido em N(S). Este fato 
not�vel tem implica��es interessantes. Vou ressaltar uma bastante usada :

Suponha que S e um p-subgrupo de Sylow de G e que sabemos que S e normal em 
T, T um subgrupo de G. Ent�o, como T esta contido em N(S), ou seja, N(S) e 
"maior" que T, ent�o :

Np=(G:N(S)) <= (G:T)

Ou seja, o TOTAL DE P-SUBGRUPOS DE SYLOW DE G e menor ou igual ao �ndice de 
T em G.

Note que, evidentemente, S pode ser QUALQUER dos p-subgrupos de Sylow de G 
que porventura existam em G, pois eles tem a mesma ordem ( numero de 
elementos ) e isto e o que importa no �ndice (G:N(S)). Neste �ndice, n�o tem 
nenhuma importancia o fato de S ser normal em G ou n�o. Ele e apenas o 
Teorema de Lagrange visto de outra forma :

Se A e subgrupo de G, ent�o, por Lagrange, |G|=|A|*(G:A)  => (G:A)=|G| / |A|

Ficou claro que se S e um p-subgrupo de Sylow de G entao o indice 
Np=(G:N(S)) e muito importante. E sobre o valor deste �ndice que fala o 
terceiro teorema de Sylow.

(TERCEIRO TEOREMA DE SYLOW ) Seja G um Grupo e |G| = (p^N)*q. Onde "p" e um 
numero primo e "q" um numero natural qualquer tal que MDC(p,q)=1. Seja S um 
p-subgrupo de Sylow de G. Entao, o numero Np=(G:N(S)), ou seja, o total de 
p-subgrupos de Sylow de G, satisfaz :

Np e congruo a 1(MOD p)
Np divide q

N�o h� o que falar aqui, tal e a simplicidade desse teorema. N�o e so 
elementar compreende-lo, e "muito elementar" compreende-lo. Vou mostrar uma 
aplica��o :

Seja G tal que |G|=255=3*5*17. Eu afirmo que existe um �nico 17-subgrupo de 
Sylow de G, um �nico 5-subgrupo de Sylow de G e um �nico 3-subgrupo de Sylow 
de G.

Seja N17 o total de 17-subgrupos de Sylow de G. Pelo primeiro teorema de 
Sylow existe ao menos um. Pelo Terceiro teorema :

N17 == 1 (MOD 17)
N17 divide 15 ( 3*5 )

Pela primeira rela��o, N17 = 1, 18, 35, ... uma PA de raz�o 17. Pela segunda 
rela��o, apenas N17=1 serve. Logo, N17=1. Existe portanto um �nico 
17-subgrupo de Sylow em G. Seja H este �nico 17-subgrupo de Sylow. H e 
normal em G, pelo que vimos acima.

Invocando o primeiro teorema de Sylow sabemos que existe ao menos um  
3-subgrupo de Sylow. Seja N3 o total deles. Pelo terceiro teorema de Sylow :

N3==1(MOD 3)
N3 divide 85 ( 5*17 )

Pela primeira rela��o, N3=1, 4,7,...,85,88, PA de raz�o 3. E f�cil perceber 
por computa��o direta - considerando-se a segunda rela��o - que N3=1 ou 
N3=85. Seja I um 3-subgrupo de Sylow.

J� vimos que H ( o �nico 17-subgrupo de Sylow ) e normal em G. Logo, HI e um 
sugbrupo de G. Todos os elementos de H - {e} tem ordem 17 e todos os 
elementos de I - {e} tem ordem 3. Logo : H interse��o I = {e} => ordem de H 
interse��o I = 1 => | HI | = |H|*|I| => |HI|=17*3=51.

E claro que I e subgrupo de HI={ h*i, h em H e i em I }. Assim, I e um 
3-subgrupo de Sylow de HI. Seja X o total destes 3-subgrupos de Sylow. 
Aplicando o Terceiro teorema de Sylow  aqui :

X == 1 (MOD 3)
X divide 17

Evidentemente, so X=1 satisfaz. Logo I e �nico. Logo I e normal em HI. Mas, 
N(I), o normalizador de I em G e o maior subgrupo de G no qual I e normal. 
Logo :

N3=(G:N(I)) <= (G:HI)=5

O terceiro teorema de Sylow nos indicou que N3=1 ou N3=85. Agora sabemos que 
N3 <= 5. Logo : N3=1.

Usando um racioc�nio absolutamente semelhante voc� pode concluir que N5=1. 
Assim :

N3=1, N5=1 e N17=1
Como quer�amos demonstrar

*** ABRE PARENTESES
Agora que estou escrevendo, ocorreu-me uma outra id�ia, mais bela e simples. 
Ela come�a assim : N�o pode ser N3=85 e N5=51 simultaneamente, pois isso 
daria mais elementos que o grupo tem, um absurdo. Logo, N3=1 ou N5=1 . E 
assim vai ...
*** FECHA PARENTESES

Todo grupo de ordem prima e c�clico e isomorfo ao respectivo (Z/pZ) e todo 
grupo e produto direto dos seus p-subgrupos. Assim:

G ~ (Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z) como 3,5,17 s�o dois a dois primos entre si, posso 
aplicar o teorema chin�s dos restos. Logo : (Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z) ~ 
(Z/255Z). E daqui chegamos a : G ~ (Z/255Z). Ou seja :

"A menos de isomorfismos, existe apenas um grupo de ordem 255"

Vejam como os TEOREMAS DE SYLOW s�o faceis de entender...  t�o faceis que 
numa �nica mensagem eu os enunciei, os expliquei e os apliquei. O meu 
interesse foi o de - contribuindo para esta lista que me e t�o cara - 
mostrar objetivamente a voc�s que esses teoremas s�o, em verdade e 
honestamente, elementares e de fac�lima compreens�o. Nao ha porque portanto 
nos privarmos de os aplicar

Agora, usando estes metodos que aqui mostrei serem elementares, vejam como 
fica trivial mostrar h� um �nico grupo de ordem 15 :

|G|=15=3*5.  Aplicando o terceiro teorema de Sylow e f�cil ver que N3=1 e 
N5=1. Seja I e J esses grupos. Como 3 e 5 s�o primos, claramente que I = 
(Z/3Z) e J=(Z/5Z). G e produto direto dos seus p-subgrupos de Sylow. Logo: G 
= (Z/3Z)*(Z/5Z). Como 3 e 5 s�o primos entre si, posso aplicar o teorema 
chines. Logo G ~ (Z/15Z) ~ (Z/3Z)*(Z/5Z)

Bom, agora, um convite para uma investigacao :

Voce pode facilmente ir alem dos Teoremas de Sylow e descobrir coisas 
interessantes... no segundo teorema de Sylow h� uma omiss�o evidente, qual 
seja, ele so se refere aos P-SUBGRUPOS DE SYLOW, ou seja, se |G|=(p^N)*q com 
MDC(p,q)=1 e M e um natural n�o nulo tal que M < N, ele nada diz sobre os 
subgrupos de ordem p^M.  Sobre estes subgrupos nos j� sabemos que :

1) Para todo A, A um p-grupo de ordem p^M,  existe um B, B um p-subgrupo de 
Sylow, tal que A esta contido em B

2) (FROBENIUS) O total de p-subgrupos de ordem p^M e congruo a 1 ( modulo p 
)

Seria interessante se pud�ssemos complementar o Teorema de Frobenius e obter 
mais informa��es sobre o numero de p-subgrupos de ordem p^M, com M < N.

Um Abra�o a Todos
Paulo Santa Rita

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