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Re:[obm-l] Aplicacao do Teorema Chines

Bem, os teoremas de Sylow e a teoria de Galois fazem parte da ementa das disciplinas de álgebra do programa de mestrado do IMPA. Obviamente, nós dois temos idéias um pouco distintas sobre o que é elementar, o que, sem dúvidas, deve-se a minha falta de conhecimentos matemáticos.
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Wed, 01 Jun 2005 11:38:49 +0000
Assunto: Re:[obm-l] Aplicacao do Teorema Chines
> Oi Claudio e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
> Quanto falei "metodos elementares" estava pensando "ate Teoria de Galois",
> pois é para esta teoria que convergem quase todos os conceitos que estudamos
> em Algebra e que a precedem a apresentacao da Teoria de Galois. Ela é como
> um ponto de aglutinacao, a partir do qual o que nao e elementar nasce.
>
> O problema e verdadeiramente simples, senao eu nao teria colocado nos termos
> que coloquei. Vou dar uma ideia e voce, preenchendo os detalhes ( por favor
> ), vai ver isso :
>
> Seja G de ordem 255. Dado que 255=3*5*17, e facil mostrar - usando o 3
> teorema de Sylow - que ha apenas um 17subgrupo de Sylow. Logo ele e normal.
> Chame ele de H. Tome um 3subgrupo de Sylow E e um 5subgrupo de Sylow F.
>
> Claramente que HE e subgrupo. Aplique Sylow aqui e mostre que E e unico em
> HE. Logo E e normal em HE. Usando o fato que o normalizador de E e o maior
> subgrupo no qual E e normal e que o indice do normalizador e o total de
> 3subgrupos, conclua que E e unico em G. Mesmo raciocinio para F. Segue que
> existem pois apenas 1 3subgrupo de Sylow, 1 5subrupo de Sylow e 1 17subgrupo
> de Sylow. Dado que 3,5 e 17 sao primos, todos eles sao ciclicos e isomorfos
> respectivamente a (Z/3Z), (Z/5Z) e (Z/17Z). Assim, G e o produto direto
> (Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z), pois o grupo e o produto direto dos seus p-subrupos
> de Sylow.
>
> Agora, pelo Teorema Chines dos Restos ( pois 3, 5 e 17 sao dois a dois
> primos entre si ) :
> (Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z) isomorfo a (Z/3*5*17Z). Assim, G e isomorfo a
> (Z/3*5*17Z)=(Z/255Z). E acabou.
>
> Um Abraco a todos
> Paulo Santa Rita
> 4,0832,010605
>
>
> >From: "claudio.buffara"
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: "obm-l"
> >Subject: Re:[obm-l] Aplicacao do Teorema Chines
> >Date: Wed, 1 Jun 2005 01:47:26 -0300
> >Data:Tue, 31 May 2005 11:07:40 +0000
> >
> >Oi, Paulo:
> >
> >Como é que se prova isso usando apenas resultados elementares (ou seja, sem
> >usar os teoremas de Sylow ou algo equivalente)?
> >
> >Mesmo a demonstração de que existe um único grupo de ordem 15 fica muito
> >complicada se formos usar apenas métodos elementares.
> >
> >[]s,
> >Claudio.
>
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