[obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Carissimo Prof Nicolau e
demais colegas desta lista ... OBM-L,

A resposta abaixo do nosso estimado moderador chega coincidentemente quando 
um estudante de Matematica da USP me propos o seguinte problema :

"Para quais valores de K a equacao sen(X) - KX = 0 tem exatamente tres 
solucoes ? "

Estes problemas estao de alguma forma relacionados e nao sem ingentes 
esforcos que consigo me arrancar do desprazer de nao ter conseguido 
rapidamente encontrar uma solucao "fechadinha". OLHANDO RAPIDA,MENTE, eu 
encontrei :

sen(Z1)/Z1 < K < 1 onde Z1 e a solucao positiva de Z*cos(Z) - sen(Z) = 0 que 
reside no intervalo aberto (2*pi , 3*pi). E foi esta a resposta que dei para 
o colega da USP. Alguem consegue melhorar este resultado ?

Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
2,1044,300505

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
>Date: Mon, 30 May 2005 10:06:12 -0300
>
>On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vinícius Meireles Aleixo wrote:
> > Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na 
>lista....
> > Qual é a raiz negativa da equação:
> >
> > 2^x - x^2=0
>
>Isto já foi discutido na lista várias vezes sim, mas não achei referência.
>A raiz é aproximadamente x = -0.7666646959621230931112044225103148480067.
>Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, é claro que existe pelo menos
>uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 é fácil ver que
>f'(x) > 0 para todo x neste intervalo donde a raiz é única.
>O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo
>método de Newton, ou, de forma mais prática, usando maple ou outro software
>similar (como eu fiz). Este número claramente não é inteiro. Também não
>pode ser racional pois se x é racional não inteiro então 2^x não é 
>racional,
>como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da 
>aritmética.
>Este número também não pode ser algébrico irracional pois sabemos pelo
>teorema de Gelfond-Schneider que se x é algébrico irracional então 2^x
>não é algébrico.
>
>Resumindo, a equação tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz é um número
>transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este 
>número
>pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais
>conhecidos (como pi): a resposta é quase certamente não, mas demonstrar que
>a resposta é não deve ser difícil.
>
>[]s, N.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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